Упр.188 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) {vx+vy=26, x^(1/4)+y^(1/4)=6}; б) {x^(1/3)-y^(1/3)=3 3/4, xy=1};
в) {vx-vy=5, x^(1/4)-y^(1/4)=1}; г) {x^(1/3)+y^(1/3)=-3, xy=8}.

Подробный ответ

а) Обозначим $$a=\sqrt[4]{x},\quad b=\sqrt[4]{y}.$$ Тогда система примет вид
$$ \begin{cases} a^2+b^2=26,\\ a+b=6. \end{cases} $$
Возведём второе уравнение в квадрат:
$$ a^2+2ab+b^2=36. $$
Вычтем первое уравнение:
$$ 2ab=10,\quad ab=5. $$
Тогда числа $a$ и $b$ — корни уравнения
$$ t^2-6t+5=0, $$
откуда $$t=1$$ или $$t=5.$$ Значит,
$$ (a,b)=(1,5)\ \text{или}\ (5,1). $$
Следовательно,
$$ (x,y)=(1,625)\ \text{или}\ (625,1). $$
б) Обозначим $$a=\sqrt[3]{x},\quad b=\sqrt[3]{y}.$$ Тогда
$$ \begin{cases} a-b=3\frac34=\frac{15}{4},\\ xy=1. \end{cases} $$
Из $$xy=1$$ получаем $$ab=1,$$ то есть $$b=\frac1a.$$ Подставим в первое уравнение:
$$ a-\frac1a=\frac{15}{4}. $$
Умножим на $$4a$$:
$$ 4a^2-15a-4=0. $$
$$ D=15^2+64=289,\quad \sqrt D=17. $$
$$ a_1=\frac{15-17}{8}=-\frac14,\quad a_2=\frac{15+17}{8}=4. $$
Тогда
$$ x_1=a_1^3=-\frac{1}{64},\quad y_1=\frac{1}{x_1}=-64; $$
$$ x_2=a_2^3=64,\quad y_2=\frac{1}{x_2}=\frac{1}{64}. $$
в) Обозначим $$a=\sqrt[4]{x},\quad b=\sqrt[4]{y}.$$ Тогда
$$ \begin{cases} a^2-b^2=5,\\ a-b=1. \end{cases} $$
Разложим разность квадратов:
$$ (a-b)(a+b)=5. $$
Так как $$a-b=1,$$ то $$a+b=5.$$ Решаем систему
$$ \begin{cases} a-b=1,\\ a+b=5. \end{cases} $$
Получаем $$a=3,$$ $$b=2.$$ Тогда
$$ x=3^4=81,\quad y=2^4=16. $$
г) Обозначим $$a=\sqrt[3]{x},\quad b=\sqrt[3]{y}.$$ Тогда
$$ \begin{cases} a+b=-3,\\ xy=8. \end{cases} $$
Из $$xy=8$$ получаем $$ab=2.$$ Значит, числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
$$ t^2+3t+2=0. $$
$$ (t+1)(t+2)=0, $$
откуда $$t=-1$$ или $$t=-2.$$ Тогда
$$ (a,b)=(-1,-2)\ \text{или}\ (-2,-1). $$
Следовательно,
$$ (x,y)=(-1,-8)\ \text{или}\ (-8,-1). $$