Упр.187 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите системы уравнений:
- $$\begin{cases}x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=30,\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=5;\end{cases}$$
- $$\begin{cases}x+y-\sqrt{xy}=7,\\ xy=9;\end{cases}$$
- $$\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=6,\\ x-y=12;\end{cases}$$
- $$\begin{cases}xy=64,\\ x-y+\sqrt{xy}=20.\end{cases}$$
а) Из второго уравнения получаем:
$$\sqrt{x}+\sqrt{y}=5.$$
Тогда первое уравнение можно записать так:
$$\sqrt{xy}\,(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30,$$
$$\sqrt{xy}\cdot 5=30,$$
$$\sqrt{xy}=6.$$
Пусть $$\sqrt{x}=a,$$ $$\sqrt{y}=b.$$ Тогда
$$a+b=5,\qquad ab=6.$$
Следовательно, $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
$$t^2-5t+6=0,$$
$$t=2 \text{ или } t=3.$$
Значит,
$$\sqrt{x}=2,\ \sqrt{y}=3 \quad \text{или} \quad \sqrt{x}=3,\ \sqrt{y}=2.$$
Отсюда
$$x=4,\ y=9 \quad \text{или} \quad x=9,\ y=4.$$
б) Из второго уравнения:
$$\sqrt{xy}=3.$$
Тогда первое уравнение принимает вид:
$$x+y-3=7,$$
$$x+y=10.$$
Имеем систему
$$\begin{cases} x+y=10,\\ xy=9. \end{cases}$$
Числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$t^2-10t+9=0,$$
$$t=1 \text{ или } t=9.$$
Следовательно,
$$(x,y)=(1,9) \text{ или } (9,1).$$
в) Из первого уравнения:
$$\sqrt{x}+\sqrt{y}=6.$$
Пусть $$\sqrt{x}=a,$$ $$\sqrt{y}=b.$$ Тогда
$$a+b=6,\qquad x-y=12.$$
Так как $$x=a^2,$$ $$y=b^2,$$ то
$$a^2-b^2=12,$$
$$(a-b)(a+b)=12.$$
Подставим $$a+b=6$$:
$$6(a-b)=12,$$
$$a-b=2.$$
Решаем систему
$$\begin{cases} a+b=6,\\ a-b=2. \end{cases}$$
Получаем $$a=4,$$ $$b=2.$$ Тогда
$$x=16,\ y=4.$$
г) Из второго уравнения:
$$x-y+\sqrt{xy}=20.$$
Так как $$xy=64,$$ то $$\sqrt{xy}=8,$$ и
$$x-y+8=20,$$
$$x-y=12.$$
Тогда
$$y=x-12.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x(x-12)=64,$$
$$x^2-12x-64=0.$$
$$D=12^2+4\cdot 64=400,$$
$$x=\frac{12\pm 20}{2}.$$
Отсюда
$$x_1=-4,\quad x_2=16.$$
Тогда
$$y_1=-16,\quad y_2=4.$$
Следовательно,
$$(x,y)=(-4,-16) \text{ или } (16,4).$$
Ответ: а) $$(4;9),\ (9;4)$$; б) $$(1;9),\ (9;1)$$; в) $$(16;4)$$; г) $$(-4;-16),\ (16;4).$$
