Упр.187 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнения:

1. а) $$\left(\sqrt{5+\sqrt{24}}\right)^x+\left(\sqrt{5-\sqrt{24}}\right)^x=10$$; б) $$3^x+4^x=25$$; в) $$\left(2+\sqrt{3}\right)^x+\left(2-\sqrt{3}\right)^x=4$$; г) $$\left(2+\sqrt{3}\right)^x+\left(2-\sqrt{3}\right)^x=4^x$$.

а) Обозначим $$y=\left(\sqrt{5+\sqrt{24}}\right)^x.$$ Тогда

$$\left(\sqrt{5+\sqrt{24}}\right)^x+\left(\sqrt{5-\sqrt{24}}\right)^x=10$$

так как $$\sqrt{5-\sqrt{24}}=\dfrac{1}{\sqrt{5+\sqrt{24}}},$$ получаем

$$y+\frac{1}{y}=10.$$

Умножим на $$y$$:

$$y^2-10y+1=0.$$

$$D=100-4=96,$$

$$y=\frac{10\pm\sqrt{96}}{2}=\frac{10\pm 4\sqrt{6}}{2}=5\pm 2\sqrt{6}.$$

Заметим, что $$5+\sqrt{24}=5+2\sqrt{6}, \qquad 5-\sqrt{24}=5-2\sqrt{6}.$$

Тогда

$$\left(\sqrt{5+\sqrt{24}}\right)^x=5+2\sqrt{6} \quad \text{или} \quad \left(\sqrt{5+\sqrt{24}}\right)^x=5-2\sqrt{6}.$$

Но

$$\left(\sqrt{5+\sqrt{24}}\right)^2=5+2\sqrt{6}, \qquad \left(\sqrt{5+\sqrt{24}}\right)^{-2}=5-2\sqrt{6}.$$

Следовательно,

$$x=2 \quad \text{или} \quad x=-2.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$3^x+4^x=25.$$

Левая часть возрастает при увеличении $$x$$, значит решение может быть только одно. Проверим $$x=2$$:

$$3^2+4^2=9+16=25.$$

Значит, $$x=2.$$

в) Пусть

$$y=(2+\sqrt{3})^x.$$

Тогда

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^x+\left(2-\sqrt{3}\right)^x=4$$

и, так как $$2-\sqrt{3}=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}},$$ имеем

$$y+\frac{1}{y}=4.$$

Умножим на $$y$$:

$$y^2-4y+1=0.$$

$$D=16-4=12,$$

$$y=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}.$$

Значит,

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^x=2+\sqrt{3} \quad \text{или} \quad \left(2+\sqrt{3}\right)^x=2-\sqrt{3}.$$

Так как

$$2-\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^{-1},$$

получаем

$$x=1 \quad \text{или} \quad x=-1.$$

г) Рассмотрим уравнение

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^x+\left(2-\sqrt{3}\right)^x=4^x.$$

Так как $$2-\sqrt{3}=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}},$$ положим

$$y=(2+\sqrt{3})^x.$$

Тогда

$$\left(2-\sqrt{3}\right)^x=\frac{1}{y}, \qquad 4^x=\left((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})\right)^x=1^x=1,$$

и уравнение принимает вид

$$y+\frac{1}{y}=1.$$

Но для действительных $$y$$ это невозможно, так как

$$y+\frac{1}{y}\ge 2 \quad \text{при } y>0.$$

Следовательно, действительных решений нет.

Ответ

а) $$x=-2,\ 2$$; б) $$x=2$$; в) $$x=-1,\ 1$$; г) решений нет.