Упр.186 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Решите системы уравнений:
а) $$\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{y}=4,\\2\sqrt{x}+3\sqrt{y}=18;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=8,\\\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}=15;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}3\sqrt{x}-\sqrt{y}=8,\\\sqrt{x}+2\sqrt{y}=19;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}\sqrt{xy}=12,\\\sqrt{x}+\sqrt{y}=7.\end{cases}$$

Подробный ответ

Обозначим $$u=\sqrt{x},\quad v=\sqrt{y}.$$ Тогда все системы сводятся к уравнениям относительно $$u$$ и $$v$$.

а)

$$\begin{cases} u-v=4,\\ 2u+3v=18 \end{cases}$$
Из первого уравнения получаем $$v=u-4$$. Подставим во второе:
$$2u+3(u-4)=18,$$
$$2u+3u-12=18,$$
$$5u=30,\quad u=6.$$
Тогда
$$v=6-4=2.$$
Следовательно,
$$x=u^2=36,\quad y=v^2=4.$$

б)

$$\begin{cases} u+v=8,\\ uv=15 \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$v=8-u.$$
Подставим во второе:
$$u(8-u)=15,$$
$$u^2-8u+15=0.$$
Разложим на множители:
$$(u-3)(u-5)=0.$$
Отсюда
$$u=3 \text{ или } u=5.$$
Тогда
$$v=5 \text{ или } v=3.$$
Следовательно,
$$(x,y)=(9,25)\text{ или }(25,9).$$

в)

$$\begin{cases} 3u-v=8,\\ u+2v=19 \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$v=3u-8.$$
Подставим во второе:
$$u+2(3u-8)=19,$$
$$u+6u-16=19,$$
$$7u=35,\quad u=5.$$
Тогда
$$v=3\cdot 5-8=7.$$
Следовательно,
$$x=u^2=25,\quad y=v^2=49.$$

г)

$$\begin{cases} uv=12,\\ u+v=7 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$v=7-u.$$
Подставим в первое:
$$u(7-u)=12,$$
$$u^2-7u+12=0.$$
Разложим на множители:
$$(u-3)(u-4)=0.$$
Отсюда
$$u=3 \text{ или } u=4.$$
Тогда
$$v=4 \text{ или } v=3.$$
Следовательно,
$$(x,y)=(9,16)\text{ или }(16,9).$$