Упр.186 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) {vx-vy=4, 2vx+3vy=18}; б) {vx+vy=8, vx·vy=15};
в) {3vx-vy=8, vx+2vy=19}; г) {vxy=12, vx+vy=7}.

1. а)

   $$\begin{cases} \sqrt{x}-\sqrt{y}=4,\\ 2\sqrt{x}+3\sqrt{y}=18 \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$\sqrt{y}=\sqrt{x}-4.$$

   Подставим во второе:

   $$2\sqrt{x}+3(\sqrt{x}-4)=18,$$
   $$2\sqrt{x}+3\sqrt{x}-12=18,$$
   $$5\sqrt{x}=30,$$
   $$\sqrt{x}=6.$$

   Тогда

   $$x=36,\qquad y=(6-4)^2=4.$$

2. б)

   $$\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=8,\\ \sqrt{x}\cdot\sqrt{y}=15 \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$\sqrt{y}=8-\sqrt{x}.$$

   Подставим во второе:

   $$\sqrt{x}(8-\sqrt{x})=15,$$
   $$x-8\sqrt{x}+15=0.$$

   Обозначим $$t=\sqrt{x}$$, тогда

   $$t^2-8t+15=0,$$
   $$(t-3)(t-5)=0.$$

   Отсюда $$t=3$$ или $$t=5$$.

   Если $$\sqrt{x}=3,$$ то $$x=9,$$ $$\sqrt{y}=5,$$ $$y=25.$$
   Если $$\sqrt{x}=5,$$ то $$x=25,$$ $$\sqrt{y}=3,$$ $$y=9.$$

3. в)

   $$\begin{cases} 3\sqrt{x}-\sqrt{y}=8,\\ \sqrt{x}+2\sqrt{y}=19 \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$\sqrt{y}=3\sqrt{x}-8.$$

   Подставим во второе:

   $$\sqrt{x}+2(3\sqrt{x}-8)=19,$$
   $$\sqrt{x}+6\sqrt{x}-16=19,$$
   $$7\sqrt{x}=35,$$
   $$\sqrt{x}=5.$$

   Тогда

   $$x=25,\qquad y=(3\cdot 5-8)^2=49.$$

4. г)

   $$\begin{cases} \sqrt{xy}=12,\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=7 \end{cases}$$

   Из второго уравнения:

   $$\sqrt{y}=7-\sqrt{x}.$$

   Подставим в первое:

   $$\sqrt{x}(7-\sqrt{x})=12,$$
   $$x-7\sqrt{x}+12=0.$$

   Положим $$t=\sqrt{x}$$. Тогда

   $$t^2-7t+12=0,$$
   $$(t-3)(t-4)=0.$$

   Значит, $$t=3$$ или $$t=4$$.

   Если $$\sqrt{x}=3,$$ то $$x=9,$$ $$\sqrt{y}=4,$$ $$y=16.$$
   Если $$\sqrt{x}=4,$$ то $$x=16,$$ $$\sqrt{y}=3,$$ $$y=9.$$

Ответ

а) $$(36; 4)$$; б) $$(9; 25),\ (25; 9)$$; в) $$(25; 49)$$; г) $$(9; 16),\ (16; 9)$$.