Упр.186 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. а) $$f(x)=-x^3+3x$$

   $$\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)$$
   $$=-(x+\Delta x)^3+3(x+\Delta x)-(-x^3+3x)$$
   $$=x^3-(x+\Delta x)^3+3\Delta x$$
   $$=x^3-\bigl(x^3+3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3\bigr)+3\Delta x$$
   $$=-3x^2\Delta x-3x(\Delta x)^2-(\Delta x)^3+3\Delta x$$
   $$=\Delta x\bigl(-3x^2-3x\Delta x-(\Delta x)^2+3\bigr)$$

   $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=-3x^2-3x\Delta x-(\Delta x)^2+3$$

2. б) $$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$$

   $$\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)=\frac{1}{(x+\Delta x)^2-1}-\frac{1}{x^2-1}$$
   $$=\frac{x^2-1-\bigl((x+\Delta x)^2-1\bigr)}{\bigl((x+\Delta x)^2-1\bigr)(x^2-1)}$$
   $$=\frac{x^2-(x+\Delta x)^2}{\bigl((x+\Delta x)^2-1\bigr)(x^2-1)}$$
   $$=\frac{-2x\Delta x-(\Delta x)^2}{\bigl((x+\Delta x)^2-1\bigr)(x^2-1)}$$
   $$=\frac{-\Delta x(2x+\Delta x)}{\bigl((x+\Delta x)^2-1\bigr)(x^2-1)}$$

   $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{-(2x+\Delta x)}{\bigl((x+\Delta x)^2-1\bigr)(x^2-1)}$$

3. в) $$f(x)=x^3-2x$$

   $$\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$$
   $$=(x_0+\Delta x)^3-2(x_0+\Delta x)-\bigl(x_0^3-2x_0\bigr)$$
   $$=x_0^3+3x_0^2\Delta x+3x_0(\Delta x)^2+(\Delta x)^3-2x_0-2\Delta x-x_0^3+2x_0$$
   $$=3x_0^2\Delta x+3x_0(\Delta x)^2+(\Delta x)^3-2\Delta x$$
   $$=\Delta x\bigl(3x_0^2+3x_0\Delta x+(\Delta x)^2-2\bigr)$$

   $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=3x_0^2+3x_0\Delta x+(\Delta x)^2-2$$

4. г) $$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$$

   $$\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=\frac{1}{(x_0+\Delta x)^2+1}-\frac{1}{x_0^2+1}$$
   $$=\frac{x_0^2+1-\bigl((x_0+\Delta x)^2+1\bigr)}{\bigl((x_0+\Delta x)^2+1\bigr)(x_0^2+1)}$$
   $$=\frac{x_0^2-(x_0+\Delta x)^2}{\bigl((x_0+\Delta x)^2+1\bigr)(x_0^2+1)}$$
   $$=\frac{-2x_0\Delta x-(\Delta x)^2}{\bigl((x_0+\Delta x)^2+1\bigr)(x_0^2+1)}$$
   $$=\frac{-\Delta x(2x_0+\Delta x)}{\bigl((x_0+\Delta x)^2+1\bigr)(x_0^2+1)}$$

   $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{-(2x_0+\Delta x)}{\bigl((x_0+\Delta x)^2+1\bigr)(x_0^2+1)}$$

Ответ

а) $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=-3x^2-3x\Delta x-(\Delta x)^2+3$$
б) $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{-(2x+\Delta x)}{\bigl((x+\Delta x)^2-1\bigr)(x^2-1)}$$
в) $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=3x_0^2+3x_0\Delta x+(\Delta x)^2-2$$
г) $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{-(2x_0+\Delta x)}{\bigl((x_0+\Delta x)^2+1\bigr)(x_0^2+1)}$$