Упр.184 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) {sin(x)-1/sin(x)=sin(y), cos(x)-1/cos(x)=cos(y)};
б) {sin(y-3x)=2sin^3(x), cos(y-3x)=2cos^3(x)}.

Подробный ответ

Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} \sin x-\dfrac{1}{\sin x}=\sin y,\\ \cos x-\dfrac{1}{\cos x}=\cos y. \end{cases} $$
Преобразуем уравнения:
$$ \dfrac{\sin^2 x-1}{\sin x}=\sin y,\qquad \dfrac{\cos^2 x-1}{\cos x}=\cos y. $$
Так как $$\sin^2 x-1=-\cos^2 x$$ и $$\cos^2 x-1=-\sin^2 x,$$ получаем
$$ -\dfrac{\cos^2 x}{\sin x}=\sin y,\qquad -\dfrac{\sin^2 x}{\cos x}=\cos y. $$
Умножим первое уравнение на $$\sin x$$, второе — на $$\cos x$$:
$$ -\cos^2 x=\sin y\sin x,\qquad -\sin^2 x=\cos y\cos x. $$
Сложим уравнения:
$$ -(\sin^2 x+\cos^2 x)=\sin y\sin x+\cos y\cos x. $$
То есть
$$ \cos(x-y)=-1, $$
откуда
$$ x-y=\pi+2\pi n,\qquad x=y+\pi+2\pi n. $$
Вычтем второе уравнение системы из первого:
$$ \cos^2 x-\sin^2 x=\cos x\cos y-\sin x\sin y. $$
Следовательно,
$$ \cos 2x=\cos(x+y). $$
С учётом $$x=y+\pi+2\pi n$$ получаем
$$ \cos 2x=\cos(2y+\pi)=-\cos 2y. $$
Значит,
$$ \cos 2x+\cos 2y=0. $$
Из найденной связи $$x=y+\pi+2\pi n$$ имеем
$$ 2x=2y+2\pi+4\pi n, $$
поэтому
$$ \cos 2x=\cos 2y. $$
Тогда
$$ \cos 2y=0,\qquad 2y=\dfrac{\pi}{2}+\pi k. $$
Отсюда
$$ y=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\qquad x=\dfrac{5\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2}. $$
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} \sin(y-3x)=2\sin^3 x,\\ \cos(y-3x)=2\cos^3 x. \end{cases} $$
Обозначим $$a=y-3x.$$ Тогда
$$ \sin a=2\sin^3 x,\qquad \cos a=2\cos^3 x. $$
Перемножим уравнения:
$$ \sin a\cos a=4\sin^3 x\cos^3 x. $$
Разделим первое уравнение на второе:
$$ \tg a=\tg^3 x. $$
Пусть $$\tg a=\tg^3 x=\tg b,$$ тогда
$$ a=b+\pi n, $$
то есть
$$ y=3x+b+\pi n. $$
Подставим в систему и используем равенства $$\sin(a+\pi n)=(-1)^n\sin a$$, $$\cos(a+\pi n)=(-1)^n\cos a$$. После преобразований получаем
$$ \sin^2 2x=1. $$
Значит,
$$ 2x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2}. $$
Тогда
$$ \tg x=\pm 1,\qquad \tg^3 x=\pm 1. $$
Из $$\tg a=\tg^3 x$$ и $$a=y-3x$$ получаем
$$ \tg(y-3x)=\pm 1. $$
При найденных $$x$$ это даёт
$$ y=\pi+2\pi k. $$