Упр.183 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 183. Докажите, что если А, В и C — углы треугольника, то cos(A)+cos(B)+cos(C)?3/2.

Так как $$A+B+C=\pi,$$ то $$A+B=\pi-C.$$ Тогда

$$ \cos A+\cos B+\cos C =2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+\cos C $$

$$ =2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}+\cos C. $$

Поскольку $$\cos\frac{A-B}{2}\le 1,$$ получаем

$$ \cos A+\cos B+\cos C \le 2\sin\frac{C}{2}+\cos C. $$

Преобразуем правую часть:

$$ 2\sin\frac{C}{2}+\cos C =2\sin\frac{C}{2}+1-2\sin^2\frac{C}{2} $$

$$ = \frac{3}{2}-2\left(\sin\frac{C}{2}-\frac12\right)^2 \le \frac{3}{2}. $$

Следовательно,

$$ \cos A+\cos B+\cos C \le \frac{3}{2}. $$

Ответ

$$\cos A+\cos B+\cos C\le \frac{3}{2}.$$