Упр.183 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) {x^3+y^3=7, x^3y^3=-8}; б) x^2+y^4=5, xy^2=2};
в) {x^3+y^3=9, xy=2}; г) {1/x+1/y=5, 1/x^2+1/y^2=13}.

1. а)

   Обозначим $$u=x^3,$$ $$v=y^3.$$ Тогда получаем систему
   $$ \begin{cases} u+v=7,\\ uv=-8. \end{cases} $$
   Числа $$u$$ и $$v$$ — корни уравнения
   $$ t^2-7t-8=0. $$
   Тогда
   $$ D=49+32=81, $$
   $$ t_{1,2}=\frac{7\pm 9}{2}. $$
   Отсюда $$t_1=8,$$ $$t_2=-1.$$ Значит,
   $$ x^3=8,\ y^3=-1 $$
   или
   $$ x^3=-1,\ y^3=8. $$
   Поэтому
   $$ (x,y)=(2,-1),\ (-1,2). $$

2. б)

   Из второго уравнения
   $$ xy^2=2,\qquad x=\frac{2}{y^2}. $$
   Подставим в первое:
   $$ \left(\frac{2}{y^2}\right)^2+y^4=5. $$
   Получаем
   $$ \frac{4}{y^4}+y^4=5. $$
   Умножим на $$y^4$$:
   $$ y^8-5y^4+4=0. $$
   Обозначим $$z=y^4.$$ Тогда
   $$ z^2-5z+4=0, $$
   $$ (z-1)(z-4)=0. $$
   Значит,
   $$ y^4=1 \quad \text{или} \quad y^4=4. $$
   Отсюда
   $$ y=\pm 1,\quad y=\pm \sqrt{2}. $$
   Найдём $$x=\frac{2}{y^2}$$:
   $$ y=\pm 1 \Rightarrow x=2, $$
   $$ y=\pm \sqrt{2} \Rightarrow x=1. $$
   Поэтому
   $$ (x,y)=(2,1),\ (2,-1),\ (1,\sqrt{2}),\ (1,-\sqrt{2}). $$

3. в)

   Из второго уравнения
   $$ xy=2,\qquad y=\frac{2}{x}. $$
   Подставим в первое:
   $$ x^3+\left(\frac{2}{x}\right)^3=9. $$
   Тогда
   $$ x^3+\frac{8}{x^3}=9. $$
   Умножим на $$x^3$$:
   $$ x^6-9x^3+8=0. $$
   Обозначим $$z=x^3.$$ Получаем
   $$ z^2-9z+8=0, $$
   $$ (z-1)(z-8)=0. $$
   Значит,
   $$ x^3=1 \quad \text{или} \quad x^3=8. $$
   Тогда
   $$ x=1 \quad \text{или} \quad x=2. $$
   Из $$xy=2$$ находим
   $$ y=2 \quad \text{или} \quad y=1. $$
   Следовательно,
   $$ (x,y)=(1,2),\ (2,1). $$

4. г)

   Обозначим
   $$ a=\frac{1}{x},\qquad b=\frac{1}{y}. $$
   Тогда система принимает вид
   $$ \begin{cases} a+b=5,\\ a^2+b^2=13. \end{cases} $$
   Используем формулу
   $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. $$
   Тогда
   $$ 25=13+2ab, $$
   $$ ab=6. $$
   Значит, числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
   $$ t^2-5t+6=0, $$
   $$ (t-2)(t-3)=0. $$
   Отсюда
   $$ \{a,b\}=\{2,3\}. $$
   Следовательно,
   $$ \left\{\frac{1}{x},\frac{1}{y}\right\}=\{2,3\}, $$
   то есть
   $$ (x,y)=\left(\frac12,\frac13\right),\ \left(\frac13,\frac12\right). $$

Ответ

а) $$(-1,2),\ (2,-1)$$;
б) $$\left(2,1\right),\ \left(2,-1\right),\ \left(1,\sqrt{2}\right),\ \left(1,-\sqrt{2}\right)$$;
в) $$\left(1,2\right),\ \left(2,1\right)$$;
г) $$\left(\frac13,\frac12\right),\ \left(\frac12,\frac13\right)$$.