Упр.183 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если $$A$$, $$B$$ и $$C$$ — углы треугольника, то $$\cos(A)+\cos(B)+\cos(C)\leq\frac{3}{2}$$.

Пусть $$A+B+C=\pi.$$ Тогда

$$\cos A+\cos B+\cos C =2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+\cos C.$$

Так как $$A+B=\pi-C,$$ то

$$\cos\frac{A+B}{2}=\cos\frac{\pi-C}{2}=\sin\frac{C}{2}.$$

Следовательно,

$$\cos A+\cos B+\cos C =2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}+\cos C.$$

Но $$\cos\frac{A-B}{2}\le 1,$$ значит

$$\cos A+\cos B+\cos C\le 2\sin\frac{C}{2}+\cos C.$$

Преобразуем правую часть:

$$2\sin\frac{C}{2}+\cos C =2\sin\frac{C}{2}+1-2\sin^2\frac{C}{2} = \frac{3}{2}-2\left(\sin\frac{C}{2}-\frac12\right)^2 \le \frac{3}{2}.$$

Значит,

$$\cos A+\cos B+\cos C\le \frac{3}{2}.$$

Ответ: $$\cos A+\cos B+\cos C\le \frac{3}{2}.$$