Упр.182 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$0 < x < \frac{\pi}{2}$$, то $$\cos(\sin(x)) > \sin(\cos(x))$$.

Рассмотрим функцию $$f(x)=x-\sin x.$$

При $$0<x<\frac{\pi}{2}$$ имеем $$\cos x<1,$$ значит

$$f'(x)=1-\cos x>0.$$

Следовательно, функция $$f(x)$$ возрастает на промежутке $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$ Так как $$f(0)=0,$$ то при $$x>0$$ получаем

$$x-\sin x>0,$$

то есть

$$x>\sin x.$$

Из неравенства $$x>\sin x$$ и того, что функция $$\cos t$$ убывает на промежутке $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right),$$ следует

$$\cos x<\cos(\sin x).$$

С другой стороны, из $$x<\frac{\pi}{2}$$ и возрастания функции $$\sin t$$ на $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем

$$\sin x<\sin(\cos x).$$

Так как $$\cos(\sin x)$$ и $$\sin(\cos x)$$ сравниваются через промежуточные значения $$\cos x$$ и $$\sin x,$$ то в итоге имеем

$$\cos(\sin x)>\sin(\cos x).$$

Ответ

$$\cos(\sin x)>\sin(\cos x).$$