Упр.181 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 181. Решите неравенство v(5-2sin(x))?6sin(x)-1. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolmogor10-11 zadachi/181 1023

Положим $$y=\sin x.$$ Тогда неравенство примет вид

$$\sqrt{5-2y}\ge 6y-1.$$

Так как левая часть неотрицательна, то при $$6y-1\le 0$$ неравенство выполняется автоматически. Получаем

$$y\le \frac16.$$

Если же $$6y-1>0,$$ то можно возвести обе части в квадрат:

$$5-2y\ge (6y-1)^2,$$

$$5-2y\ge 36y^2-12y+1,$$

$$36y^2-10y-4\le 0,$$

$$18y^2-5y-2\le 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(-5)^2-4\cdot 18\cdot(-2)=25+144=169,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 13}{36}.$$

Отсюда

$$y_1=-\frac29,\qquad y_2=\frac12.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$18y^2-5y-2\le 0 \quad \Longrightarrow \quad y\in\left[-\frac29,\frac12\right].$$

С учётом условия $$6y-1>0$$ получаем $$y>\frac16,$$ значит в этом случае

$$y\in\left(\frac16,\frac12\right].$$

Объединяя с случаем $$y\le \frac16,$$ имеем

$$y\in\left[-\frac29,\frac12\right].$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем

$$-\frac29\le \sin x\le \frac12.$$

Это даёт решение

$$x\in\left[-\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x\in\left[-\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$