Упр.180 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 180. Решите неравенство sin(4?/3 cos(?x))?v3/2. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolmogor10-11 zadachi/180 1023

Рассмотрим неравенство

$$\sin\left(\frac{4\pi}{3}\cos \pi x\right)\ge \frac{\sqrt3}{2}.$$

Для функции синуса имеем:

$$\sin t\ge \frac{\sqrt3}{2}\iff \frac{\pi}{3}+2\pi n\le t\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Положим

$$t=\frac{4\pi}{3}\cos \pi x.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le \frac{4\pi}{3}\cos \pi x\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

Делим на $$\frac{\pi}{3}$$:

$$1+6n\le 4\cos \pi x\le 2+6n,$$

то есть

$$\frac14+\frac{3n}{2}\le \cos \pi x\le \frac12+\frac{3n}{2}.$$

Так как $$-1\le \cos \pi x\le 1,$$ нужно рассмотреть только те целые $$n,$$ при которых получаются допустимые значения.

1) При $$n=0$$ получаем

$$\frac14\le \cos \pi x\le \frac12.$$

Отсюда

$$\pi x\in \left[2\pi k-\arccos\frac12,\; 2\pi k-\arccos\frac14\right]\cup \left[2\pi k+\arccos\frac14,\; 2\pi k+\arccos\frac12\right],\quad k\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x\in \left[2k-\frac13,\; 2k-\frac{1}{\pi}\arccos\frac14\right]\cup \left[2k+\frac{1}{\pi}\arccos\frac14,\; 2k+\frac13\right],\quad k\in\mathbb Z.$$

2) При $$n=1$$ получаем

$$-1\le \cos \pi x\le -\frac14.$$

Тогда

$$\pi x\in \left[\pi+2\pi k,\; \pi+\arccos\frac14+2\pi k\right]\cup \left[\pi-\arccos\frac14+2\pi k,\; 2\pi+2\pi k\right],\quad k\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x\in \left[1+2k,\; 1+\frac{1}{\pi}\arccos\frac14+2k\right]\cup \left[1-\frac{1}{\pi}\arccos\frac14+2k,\; 2+2k\right],\quad k\in\mathbb Z.$$

Объединяя полученные промежутки и учитывая периодичность, получаем ответ в компактной записи:

$$x\in \left[-\frac{1}{\pi}\arccos\frac14+2n,\; -\frac13+2n\right]\cup \left[\frac13+2n,\; \frac{1}{\pi}\arccos\frac14+2n\right]\cup \{1+2n\},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x\in \left[-\frac{1}{\pi}\arccos\frac14+2n,\; -\frac13+2n\right]\cup \left[\frac13+2n,\; \frac{1}{\pi}\arccos\frac14+2n\right]\cup \{1+2n\},\quad n\in\mathbb Z.$$