Упр.180 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите системы уравнений:

1. $$\begin{cases}2x+3y=-1,\\5x+4y=1;\end{cases}$$
2. $$\begin{cases}3x-9y=12,\\4x-12y=16;\end{cases}$$
3. $$\begin{cases}x+2y=7,\\2x-3y=5;\end{cases}$$
4. $$\begin{cases}5x-8y=0,\\x-1{,}6y=1.\end{cases}$$

а) Сложим уравнения системы:

$$\begin{cases} 2x+3y=-1,\\ 5x+4y=1. \end{cases}$$

$$7x+7y=0,\qquad x=-y.$$

Подставим $$x=-y$$ в первое уравнение:

$$2(-y)+3y=-1,$$

$$y=-1,\qquad x=1.$$

Ответ: $$(1;\,-1).$$

б) Из первого уравнения выразим $$x$$:

$$\begin{cases} 3x-9y=12,\\ 4x-12y=16. \end{cases}$$

$$x-3y=4,\qquad x=3y+4.$$

Второе уравнение после деления на $$4$$ тоже даёт:

$$x-3y=4.$$

Оба уравнения совпадают, значит система имеет бесконечно много решений:

$$x=3t+4,\qquad y=t.$$

Ответ: $$(3t+4;\,t),\ t\in\mathbb{R}.$$

в) Выразим $$x$$ из первого уравнения:

$$\begin{cases} x+2y=7,\\ 2x-3y=5. \end{cases}$$

$$x=7-2y.$$

Подставим во второе уравнение:

$$2(7-2y)-3y=5,$$

$$14-4y-3y=5,$$

$$7y=9,\qquad y=\frac{9}{7}.$$

Тогда

$$x=7-2\cdot\frac{9}{7}=\frac{31}{7}.$$

Ответ: $$\left(\frac{31}{7};\frac{9}{7}\right).$$

г) Из первого уравнения выразим $$x$$:

$$\begin{cases} 5x-8y=0,\\ x-1{,}6y=1. \end{cases}$$

$$5x=8y,\qquad x=1{,}6y.$$

Подставим во второе уравнение:

$$1{,}6y-1{,}6y=1,$$

$$0=1.$$

Получили противоречие, значит система решений не имеет.

Ответ: $$\varnothing.$$