Упр.180 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) {2x+3y=-1, 5x+4y=1}; б) {3x-9y=12, 4x-12y=16};
в) {x+2y=7, 2x-3y=5}; г) {5x-8y=0, x-1,6y=1}.

1. а)

   Сложим уравнения системы:
   $$\begin{aligned} 2x+3y&=-1,\\ 5x+4y&=1. \end{aligned}$$
   Тогда
   $$7x+7y=0,$$
   откуда
   $$x=-y.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$2x+3(-x)=-1,$$
   $$-x=-1,$$
   $$x=1,\quad y=-1.$$

2. б)

   Преобразуем уравнения:
   $$3x-9y=12 \Rightarrow x-3y=4,$$
   $$4x-12y=16 \Rightarrow x-3y=4.$$
   Оба уравнения совпадают, значит система имеет бесконечно много решений:
   $$x=3t+4,\quad y=t,\quad t\in\mathbb{R}.$$

3. в)

   Из первого уравнения выразим $$x$$:
   $$x+2y=7 \Rightarrow x=7-2y.$$
   Подставим во второе:
   $$2(7-2y)-3y=5,$$
   $$14-4y-3y=5,$$
   $$7y=9,$$
   $$y=\frac{9}{7}.$$
   Тогда
   $$x=7-2\cdot\frac{9}{7}=\frac{31}{7}.$$

4. г)

   Из первого уравнения:
   $$5x-8y=0 \Rightarrow x=1{,}6y.$$
   Подставим во второе:
   $$x-1{,}6y=1,$$
   $$1{,}6y-1{,}6y=1,$$
   $$0=1,$$
   что невозможно. Значит, система решений не имеет.

Ответ

а) $$\left(1;\,-1\right)$$; б) $$\left(3t+4;\,t\right),\ t\in\mathbb{R}$$; в) $$\left(\frac{31}{7};\,\frac{9}{7}\right)$$; г) $$\varnothing$$.