Упр.179 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства:
   а) $$\log_2(4^x-5\cdot2^x+8)>2$$;
   б) $$\log_{0,5}^2 x?5\log_{0,5}x$$;
   в) $$\lg^2 x?\lg x+2$$;
   г) $$\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(6^{x+1}-36^x)?-2$$.

а) $$\log_2(4^x-5\cdot 2^x+8)>2.$$

Так как $$2=\log_2 4,$$ получаем

$$\log_2(4^x-5\cdot 2^x+8)>\log_2 4,$$

откуда

$$4^x-5\cdot 2^x+8>4.$$

Положим $$t=2^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$t^2-5t+4>0,$$

$$(t-1)(t-4)>0.$$

Следовательно,

$$t<1 \quad \text{или} \quad t>4.$$

Возвращаясь к $$x,$$ получаем

$$2^x<1 \Rightarrow x<0,$$

$$2^x>4 \Rightarrow x>2.$$

Ответ: $$(-\infty;0)\cup(2;+\infty).$$

б) $$\log_{0{,}5}^2 x+6\ge 5\log_{0{,}5}x.$$

Пусть $$y=\log_{0{,}5}x.$$ Тогда

$$y^2-5y+6\ge 0,$$

$$(y-2)(y-3)\ge 0.$$

Отсюда

$$y\le 2 \quad \text{или} \quad y\ge 3.$$

Так как основание $$0{,}5<1,$$ знак неравенства при переходе к $$x$$ меняется:

$$\log_{0{,}5}x\le 2 \Rightarrow x\ge 0{,}5^2=0{,}25,$$

$$\log_{0{,}5}x\ge 3 \Rightarrow x\le 0{,}5^3=0{,}125.$$

С учётом области определения $$x>0$$ получаем

Ответ: $$\left(0;0{,}125\right]\cup\left[0{,}25;+\infty\right).$$

в) $$\lg^2 x\ge \lg x+2.$$

Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда

$$y^2-y-2\ge 0,$$

$$(y+1)(y-2)\ge 0.$$

Следовательно,

$$y\le -1 \quad \text{или} \quad y\ge 2.$$

Возвращаясь к $$x,$$ имеем

$$\lg x\le -1 \Rightarrow x\le 10^{-1}=0{,}1,$$

$$\lg x\ge 2 \Rightarrow x\ge 10^2=100.$$

С учётом $$x>0$$:

Ответ: $$\left(0;0{,}1\right]\cup\left[100;+\infty\right).$$

г) $$\log_{\frac1{\sqrt5}}\left(6^{x+1}-36^x\right)\ge -2.$$

Так как

$$-2=\log_{\frac1{\sqrt5}}5,$$

то

$$\log_{\frac1{\sqrt5}}\left(6^{x+1}-36^x\right)\ge \log_{\frac1{\sqrt5}}5.$$

Основание $$\frac1{\sqrt5}<1,$$ значит

$$6^{x+1}-36^x\le 5.$$

Преобразуем:

$$6\cdot 6^x-6^{2x}\le 5,$$

$$6^{2x}-6\cdot 6^x+5\ge 0.$$

Положим $$t=6^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$t^2-6t+5\ge 0,$$

$$(t-1)(t-5)\ge 0.$$

Отсюда

$$t\le 1 \quad \text{или} \quad t\ge 5.$$

То есть

$$6^x\le 1 \Rightarrow x\le 0,$$

$$6^x\ge 5 \Rightarrow x\ge \log_6 5.$$

Проверим область определения:

$$6^{x+1}-36^x>0,$$

$$6\cdot 6^x-6^{2x}>0,$$

$$6^x(6-6^x)>0,$$

откуда

$$6^x<6,\quad x<1.$$

Итак, с учётом ОДЗ:

Ответ: $$(-\infty;0]\cup[\log_6 5;1).$$