Упр.179 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите справедливость неравенства:
а) $$\sqrt{\cos \alpha}<\sqrt{2}\cos\frac{\alpha}{2}$$, если $$-\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}$$;
б) $$\sin^4\alpha+\cos^4\alpha\geq\frac{1}{2}$$ при любом $$\alpha$$.

а) Так как $$-\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2},$$ то $$\cos\varphi>0.$$

Возведём обе части неравенства в квадрат:

$$\sqrt{\cos\varphi}<\sqrt{2}\cos\frac{\varphi}{2} \iff \cos\varphi<2\cos^2\frac{\varphi}{2}.$$

По формуле двойного угла

$$2\cos^2\frac{\varphi}{2}=1+\cos\varphi.$$

Тогда нужно доказать:

$$\cos\varphi<1+\cos\varphi,$$

а это верно, так как $$1>0.$$

б) Используем тождество:

$$\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha.$$

Так как $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,$$ получаем

$$\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=1-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha.$$

С другой стороны,

$$\sin^2 2\alpha=4\sin^2\alpha\cos^2\alpha,$$

значит

$$\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\frac{1}{4}\sin^2 2\alpha\le \frac{1}{4}.$$

Тогда

$$\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=1-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha\ge 1-2\cdot\frac14=\frac12.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

а) $$\sqrt{\cos\varphi}<\sqrt{2}\cos\frac{\varphi}{2}.$$

б) $$\sin^4\alpha+\cos^4\alpha\ge \frac12.$$