Упр.178 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенства:

а) $$\lg(x^2+x-6)-\lg(x+3)\ ?\ \lg(3);$$

б) $$\log_{3}\left(\frac{3x-1}{2-x}\right)<1;$$

в) $$\ln(x^2+3x-10)-\ln(x-2)\ ?\ \ln(4);$$

г) $$\log_{3}\left(\frac{3x-5}{x+1}\right)\ ?\ 1.$$

а) $$\lg(x^2+x-6)-\lg(x+3)\le \lg 3$$

Объединим логарифмы:

$$\lg\frac{x^2+x-6}{x+3}\le \lg 3$$

Так как функция $$\lg x$$ возрастает, получаем

$$\frac{x^2+x-6}{x+3}\le 3$$

$$\frac{x^2+x-6-3x-9}{x+3}\le 0$$

$$\frac{x^2-2x-15}{x+3}\le 0$$

$$\frac{(x-5)(x+3)}{x+3}\le 0$$

С учётом области определения:

$$x^2+x-6>0,\quad x+3>0$$

$$(x+3)(x-2)>0,\quad x>2 \text{ или } x<-3$$

Пересечение с решением неравенства даёт:

$$x\in(2;5]$$

б) $$\log_3\frac{3x-1}{2-x}<1$$

Так как основание $$3>1$$, имеем

$$\frac{3x-1}{2-x}<3$$

$$\frac{3x-1-6+3x}{2-x}<0$$

$$\frac{6x-7}{2-x}<0$$

$$\frac{6x-7}{x-2}>0$$

Отсюда

$$x<\frac76 \quad \text{или} \quad x>2$$

Область определения:

$$\frac{3x-1}{2-x}>0$$

$$\frac13<x<2$$

Пересечение даёт:

$$x\in\left(\frac13;\frac76\right)$$

в) $$\ln(x^2+3x-10)-\ln(x-2)\ge \ln 4$$

Объединим логарифмы:

$$\ln\frac{x^2+3x-10}{x-2}\ge \ln 4$$

Так как функция $$\ln x$$ возрастает, получаем

$$\frac{x^2+3x-10}{x-2}\ge 4$$

$$\frac{x^2+3x-10-4x+8}{x-2}\ge 0$$

$$\frac{x^2-x-2}{x-2}\ge 0$$

$$\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}\ge 0$$

С учётом области определения:

$$x^2+3x-10>0,\quad x-2>0$$

$$(x+5)(x-2)>0,\quad x>2 \text{ или } x<-5$$

Пересечение даёт:

$$x\in(2;+\infty)$$

г) $$\log_3\frac{3x-5}{x+1}\le 1$$

Так как основание $$3>1$$, имеем

$$\frac{3x-5}{x+1}\le 3$$

$$\frac{3x-5-3x-3}{x+1}\le 0$$

$$\frac{-8}{x+1}\le 0$$

$$\frac{8}{x+1}\ge 0$$

Отсюда

$$x>-1$$

Область определения:

$$\frac{3x-5}{x+1}>0$$

$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>\frac53$$

Пересечение с условием $$x>-1$$ даёт:

$$x\in\left(\frac53;+\infty\right)$$

Ответ: а) $$\left(2;5\right]$$; б) $$\left(\frac13;\frac76\right)$$; в) $$\left(2;+\infty\right)$$; г) $$\left(\frac53;+\infty\right)$$.