Упр.178 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) cos(2x)?cos(3x)-cos(4x);
б) cos^2(x)+cos^2(2x)+cos^2(3x)+cos^2(4x)?2;
в) sin(2x)+2sin(x) > 0;
г) (1+cos(2x))(tg(x)-v3) > 0.

1. а) $$\cos 2x \le \cos 3x-\cos 4x$$

   Перенесём всё в одну сторону и преобразуем:

   $$ \cos 2x+\cos 4x \le \cos 3x $$
   $$ 2\cos 3x\cos x \le \cos 3x $$
   $$ \cos 3x\,(2\cos x-1)\le 0 $$

   Рассмотрим множители:

   $$ \cos 3x \ge 0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1\le 0 $$

   Учитывая знаки произведения, получаем объединение промежутков:

   $$ x\in\left[-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,-\frac{\pi}{2}+2\pi n\right] \cup \left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right] \cup \left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right], \quad n\in\mathbb Z. $$

2. б) $$\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x+\cos^2 4x\ge 2$$

   Используем формулу $$\cos^2 t=\dfrac{1+\cos 2t}{2}$$:

   $$ \frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos 4x}{2}+\frac{1+\cos 6x}{2}+\frac{1+\cos 8x}{2}\ge 2 $$
   $$ 4+\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x+\cos 8x\ge 4 $$
   $$ \cos 2x+\cos 4x+\cos 6x+\cos 8x\ge 0 $$

   Сгруппируем суммы:

   $$ (\cos 2x+\cos 8x)+(\cos 4x+\cos 6x)\ge 0 $$
   $$ 2\cos 5x\cos 3x+2\cos 5x\cos x\ge 0 $$
   $$ 2\cos 5x(\cos 3x+\cos x)\ge 0 $$
   $$ 2\cos 5x\cdot 2\cos 2x\cos x\ge 0 $$
   $$ \cos 5x\cos 2x\cos x\ge 0 $$

   Решение сводится к разбору знаков множителей. В результате получаем:

   $$ x\in\left\{-\frac{\pi}{2}+\pi n\right\} \cup\left[-\frac{3\pi}{10}+\pi n;\,-\frac{\pi}{4}+\pi n\right] \cup\left[-\frac{\pi}{10}+\pi n;\,\frac{\pi}{10}+\pi n\right] \cup\left[\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{3\pi}{10}+\pi n\right], \quad n\in\mathbb Z. $$

3. в) $$\sin 2x+2\sin x>0$$

   $$ 2\sin x\cos x+2\sin x>0 $$
   $$ 2\sin x(\cos x+1)>0 $$

   Так как $$\cos x+1\ge 0$$ и равно нулю только при $$x=\pi+2\pi n$$, то неравенство выполняется при

   $$ \sin x>0 $$
   $$ 2\pi n

4. г) $$(1+\cos 2x)(\tg x-\sqrt3)>0$$

   $$ 1+\cos 2x=2\cos^2 x\ge 0 $$

   Чтобы произведение было положительным, нужно:

   $$ 1+\cos 2x>0 $$
   и
   $$ \tg x-\sqrt3>0. $$

   Первое условие даёт $$\cos x\ne 0$$, а второе:

   $$ \tg x>\sqrt3 $$
   $$ \frac{\pi}{3}+\pi n

Ответ

а) $$\left[-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,-\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]\cup\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right]\cup\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$

б) $$\left\{-\frac{\pi}{2}+\pi n\right\}\cup\left[-\frac{3\pi}{10}+\pi n;\,-\frac{\pi}{4}+\pi n\right]\cup\left[-\frac{\pi}{10}+\pi n;\,\frac{\pi}{10}+\pi n\right]\cup\left[\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{3\pi}{10}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$

в) $$\left(2\pi n;\,\pi+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$

г) $$\left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$