Упр.178 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) lg(x^2+x-6)-lg(x+3)?lg(3); б) log(3; (3x-1)/(2-x)) < 1; в) ln(x^2+3x-10)-ln(x-2)?ln(4); г) log(3; (3x-5)/(x+1))?1.
а) $$\lg(x^2+x-6)-\lg(x+3)\le \lg 3$$
Объединим логарифмы:
$$\lg\frac{x^2+x-6}{x+3}\le \lg 3$$
Так как функция $$\lg x$$ возрастает, получаем:
$$\frac{x^2+x-6}{x+3}\le 3$$
$$\frac{x^2+x-6-3x-9}{x+3}\le 0$$
$$\frac{x^2-2x-15}{x+3}\le 0$$
$$\frac{(x-5)(x+3)}{x+3}\le 0$$
С учётом области определения:
$$x^2+x-6>0,\quad x+3>0$$
$$ (x+3)(x-2)>0,\quad x>-3,\ x>2$$
Значит, $$x>2$$.
Решаем неравенство $$\frac{(x-5)(x+3)}{x+3}\le 0$$: получаем $$x\le 5,\ x\ne -3$$.
Пересечение с ОДЗ даёт:
$$x\in(2;5]$$
б) $$\log_3\frac{3x-1}{2-x}<1$$
Так как основание $$3>1$$, имеем:
$$\frac{3x-1}{2-x}<3$$
$$\frac{3x-1-6+3x}{2-x}<0$$
$$\frac{6x-7}{2-x}<0$$
$$\frac{6x-7}{x-2}>0$$
Отсюда:
$$x<\frac76 \quad \text{или} \quad x>2$$
ОДЗ:
$$\frac{3x-1}{2-x}>0$$
$$\frac{3x-1}{2-x}>0 \;\Rightarrow\; \frac13<x<2$$
Пересечение даёт:
$$x\in\left(\frac13;\frac76\right)$$
в) $$\ln(x^2+3x-10)-\ln(x-2)\ge \ln 4$$
Объединим логарифмы:
$$\ln\frac{x^2+3x-10}{x-2}\ge \ln 4$$
Так как функция $$\ln x$$ возрастает, получаем:
$$\frac{x^2+3x-10}{x-2}\ge 4$$
$$\frac{x^2+3x-10-4x+8}{x-2}\ge 0$$
$$\frac{x^2-x-2}{x-2}\ge 0$$
$$\frac{(x+1)(x-2)}{x-2}\ge 0$$
С учётом области определения:
$$x^2+3x-10>0,\quad x-2>0$$
$$ (x+5)(x-2)>0,\quad x>2$$
Значит, $$x>2$$.
Следовательно,
$$x\in(2;+\infty)$$
г) $$\log_3\frac{3x-5}{x+1}\le 1$$
Так как основание $$3>1$$, имеем:
$$\frac{3x-5}{x+1}\le 3$$
$$\frac{3x-5-3x-3}{x+1}\le 0$$
$$\frac{-8}{x+1}\le 0$$
$$\frac{8}{x+1}\ge 0$$
Отсюда $$x+1>0$$, то есть $$x>-1$$.
ОДЗ:
$$\frac{3x-5}{x+1}>0$$
$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>\frac53$$
Пересечение с $$x>-1$$ даёт:
$$x\in\left(\frac53;+\infty\right)$$
Ответ
а) $$\left(2;5\right]$$; б) $$\left(\frac13;\frac76\right)$$; в) $$\left(2;+\infty\right)$$; г) $$\left(\frac53;+\infty\right)$$.
