Упр.175 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а)
   $$\begin{cases} x+y=\pi,\\ \cos x-\cos y=1 \end{cases}$$
   Из первого уравнения выразим $$y=\pi-x$$. Подставим во второе:
   $$\cos x-\cos(\pi-x)=1.$$
   Так как $$\cos(\pi-x)=-\cos x,$$ получаем
   $$\cos x-(-\cos x)=1,$$
   $$2\cos x=1,$$
   $$\cos x=\frac12.$$
   Тогда
   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y=\pi-x=\pi\mp \frac{\pi}{3}-2\pi k.$$
   Значит,
   $$y=\frac{2\pi}{3}-2\pi k \quad \text{или} \quad y=\frac{4\pi}{3}-2\pi k.$$

2. б)
   $$\begin{cases} x-y=\frac{\pi}{2},\\ \cos^2 x+\sin^2 y=2 \end{cases}$$
   Из первого уравнения
   $$x=\frac{\pi}{2}+y.$$
   Подставим во второе:
   $$\cos^2\left(\frac{\pi}{2}+y\right)+\sin^2 y=2.$$
   Так как $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+y\right)=-\sin y,$$ то
   $$\sin^2 y+\sin^2 y=2,$$
   $$2\sin^2 y=2,$$
   $$\sin^2 y=1,$$
   $$\sin y=\pm 1.$$
   Следовательно,
   $$y=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Тогда
   $$x=\frac{\pi}{2}+y=\pi+\pi n.$$

3. в)
   $$\begin{cases} x+y=\pi,\\ \sin x+\sin y=1 \end{cases}$$
   Из первого уравнения
   $$y=\pi-x.$$
   Подставим во второе:
   $$\sin x+\sin(\pi-x)=1.$$
   Так как $$\sin(\pi-x)=\sin x,$$ получаем
   $$2\sin x=1,$$
   $$\sin x=\frac12.$$
   Тогда
   $$x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y=\pi-x=\pi-(-1)^k\frac{\pi}{6}-\pi k.$$
   Это можно записать как
   $$y=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}-\pi(k-1),\quad k\in\mathbb Z.$$

4. г)
   $$\begin{cases} x+y=\frac{\pi}{2},\\ \sin^2 x-\sin^2 y=1 \end{cases}$$
   Из первого уравнения
   $$y=\frac{\pi}{2}-x.$$
   Подставим во второе:
   $$\sin^2 x-\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=1.$$
   Так как $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x,$$ имеем
   $$\sin^2 x-\cos^2 x=1.$$
   Но
   $$\sin^2 x-\cos^2 x=2\sin^2 x-1,$$
   значит
   $$2\sin^2 x-1=1,$$
   $$\sin^2 x=1,$$
   $$\sin x=\pm 1.$$
   Следовательно,
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Тогда
   $$y=\frac{\pi}{2}-x=-\pi n.$$

Ответ

а) $$\left(\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k;\ \frac{2\pi}{3}-2\pi k\right),\ \left(\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k;\ \frac{4\pi}{3}-2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

б) $$\left(\pi+\pi n;\ \frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$\left((-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k;\ (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}-\pi(k-1)\right),\ k\in\mathbb Z.$$

г) $$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\ -\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$