Упр.174 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 174. Решите уравнение x^2+2x sin(xy)+1=0.

Рассмотрим уравнение

$$x^2+2x\sin(xy)+1=0.$$

Перенесём:

$$2x\sin(xy)=-x^2-1,$$

откуда

$$\sin(xy)=-\frac{x^2+1}{2x}.$$

Так как $$-1\le \sin(xy)\le 1,$$ то должно выполняться

$$-1\le -\frac{x^2+1}{2x}\le 1.$$

Рассмотрим случаи.

1) $$x<0$$. Тогда

$$-\frac{x^2+1}{2x}\ge 1,$$

то есть

$$x^2+1\ge -2x,$$

$$x^2+2x+1\ge 0,$$

$$\left(x+1\right)^2\ge 0.$$

Равенство достигается при $$x=-1.$$ Тогда

$$\sin(-y)=1,$$

откуда

$$y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$x>0$$. Тогда

$$-\frac{x^2+1}{2x}\le -1,$$

то есть

$$x^2+1\ge 2x,$$

$$x^2-2x+1\ge 0,$p>

$$\left(x-1\right)^2\ge 0.$$

Равенство достигается при $$x=1.$$ Тогда

$$\sin y=-1,$$

откуда

$$y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Итак, решениями являются пары

$$\left(-1,\,-\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\quad \text{и}\quad \left(1,\,-\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$\left(\pm 1;\,-\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$