Упр.174 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) x^(log(2; x)-2)=8; б) x^log(5; x)=125x^2;
в) x^lg(x)=10 000; г) x^(log(3; x)-3)=1/9.
а) $$x^{\log_2 x-2}=8$$
Так как $$8=2^3$$, получаем
$$\log_2\left(x^{\log_2 x-2}\right)=\log_2 8$$
$$\left(\log_2 x-2\right)\log_2 x=3$$
Пусть $$y=\log_2 x$$. Тогда
$$y(y-2)=3$$
$$y^2-2y-3=0$$
$$D=4+12=16$$
$$y_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$$
$$y_1=-1,\quad y_2=3$$
Тогда
$$x_1=2^{-1}=\frac12,\quad x_2=2^3=8$$
б) $$x^{\log_5 x}=125x^2$$
Так как $$125=5^3$$, имеем
$$\log_5\left(x^{\log_5 x}\right)=\log_5(125x^2)$$
$$\log_5 x\cdot \log_5 x=3+2\log_5 x$$
Пусть $$y=\log_5 x$$. Тогда
$$y^2=3+2y$$
$$y^2-2y-3=0$$
$$D=4+12=16$$
$$y_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$$
$$y_1=-1,\quad y_2=3$$
Следовательно,
$$x_1=5^{-1}=\frac15,\quad x_2=5^3=125$$
в) $$x^{\lg x}=10000$$
Так как $$10000=10^4$$, получаем
$$\lg\left(x^{\lg x}\right)=\lg 10000$$
$$\lg x\cdot \lg x=4$$
$$\left(\lg x\right)^2=4$$
$$\lg x=\pm 2$$
Тогда
$$x_1=10^{-2}=0{,}01,\quad x_2=10^2=100$$
г) $$x^{\log_3 x-3}=\frac19$$
Так как $$\frac19=3^{-2}$$, имеем
$$\log_3\left(x^{\log_3 x-3}\right)=\log_3\frac19$$
$$\left(\log_3 x-3\right)\log_3 x=-2$$
Пусть $$y=\log_3 x$$. Тогда
$$y(y-3)=-2$$
$$y^2-3y+2=0$$
$$D=9-8=1$$
$$y_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}$$
$$y_1=1,\quad y_2=2$$
Следовательно,
$$x_1=3^1=3,\quad x_2=3^2=9$$
Ответ
а) $$\frac12,\ 8$$; б) $$\frac15,\ 125$$; в) $$0{,}01,\ 100$$; г) $$3,\ 9$$.
