Упр.174 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

а) $$\cos 5x-\cos 3x=0$$
Используем формулу разности косинусов:
$$\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$$
Тогда
$$\cos 5x-\cos 3x=-2\sin 4x\sin x=0$$
Следовательно,
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin 4x=0$$
Отсюда
$$x=\pi n,\ n\in \mathbb Z$$
или
$$4x=\pi k,\ x=\frac{\pi}{4}k,\ k\in \mathbb Z$$
Решения $$x=\pi n$$ входят в множество решений $$x=\frac{\pi}{4}k$$ при $$k=4n$$, поэтому общее решение:
$$x=\frac{\pi}{4}k,\ k\in \mathbb Z$$
б) $$\sin 7x-\sin x=\cos 4x$$
Преобразуем левую часть по формуле разности синусов:
$$\sin A-\sin B=2\sin \frac{A-B}{2}\cos \frac{A+B}{2}$$
Получаем
$$2\sin 3x\cos 4x=\cos 4x$$
Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель:
$$2\sin 3x\cos 4x-\cos 4x=0$$
$$\cos 4x(2\sin 3x-1)=0$$
Тогда
$$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \sin 3x=\frac12$$
1) $$\cos 4x=0$$, значит
$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}n,\ n\in \mathbb Z$$
2) $$\sin 3x=\frac12$$, значит
$$3x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$
Отсюда
$$x=(-1)^k\frac{\pi}{18}+\frac{\pi}{3}k,\quad k\in \mathbb Z$$
в) $$\sin 5x-\sin x=0$$
По формуле разности синусов:
$$2\sin 2x\cos 3x=0$$
Следовательно,
$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0$$
Тогда
$$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}n,\ n\in \mathbb Z$$
или
$$3x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}k,\ k\in \mathbb Z$$
г) $$\cos 3x+\cos x=4\cos 2x$$
Используем формулу суммы косинусов:
$$\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$$
Тогда
$$2\cos 2x\cos x=4\cos 2x$$
Перенесём всё в левую часть:
$$2\cos 2x(\cos x-2)=0$$
Так как $$\cos x-2\neq 0$$ при любых $$x$$, то остаётся
$$\cos 2x=0$$
Отсюда
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k,\ k\in \mathbb Z$$