Упр.173 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения:
   а) $$\log_{2}x+\frac{4}{\log_{x}2}=5$$;
   б) $$\log_{\sqrt{x}}x-\log_{x}\frac{1}{3}+\log_{3}x=6$$;
   в) $$2\log_{\sqrt{3}}x+\log_{x}\frac{1}{3}=3$$;
   г) $$\log_{\sqrt{2}}x+4\log_{x}x^{2}+\log_{x}8=16$$.

а) $$\log_2 x+\frac{4}{\log_x 2}=5.$$

Так как $$\log_x 2=\frac{1}{\log_2 x},$$ получаем

$$\log_2 x+\frac{4}{1/\log_2 x}=5,$$

$$\log_2 x+4\log_2 x=5,$$

$$5\log_2 x=5,$$

$$\log_2 x=1,$$

$$x=2.$$

Ответ: $$2.$$

б) $$\log_3 x+\log_{\sqrt{x}} x-\log_{1/3} x=6.$$

Преобразуем логарифмы:

$$\log_{\sqrt{x}} x=\log_{x^{1/2}} x=2,$$

$$\log_{1/3} x=-\log_3 x.$$

Тогда

$$\log_3 x+2-(-\log_3 x)=6,$$

$$2\log_3 x=4,$$

$$\log_3 x=2,$$

$$x=9.$$

Ответ: $$9.$$

в) $$2\log_{\sqrt{3}} x+\log_x \frac13=3.$$

Пусть $$y=\log_3 x.$$ Тогда

$$\log_{\sqrt{3}} x=\log_{3^{1/2}} x=2\log_3 x=2y,$$

а

$$\log_x \frac13=\frac{\log_3 \frac13}{\log_3 x}=\frac{-1}{y}.$$

Получаем уравнение

$$2\cdot 2y-\frac{1}{y}=3,$$

$$4y-\frac{1}{y}=3,$$

$$4y^2-3y-1=0.$$

$$D=9+16=25,$$

$$y_1=\frac{3-5}{8}=-\frac14,\qquad y_2=\frac{3+5}{8}=1.$$

Тогда

$$x=3^{-\frac14}=\frac{1}{\sqrt[4]{3}},\qquad x=3^1=3.$$

Ответ: $$\frac{1}{\sqrt[4]{3}};\ 3.$$

г) $$\log_{\sqrt{2}} x+4\log_{x^2} x+\log_8 x=16.$$

Преобразуем логарифмы:

$$\log_{\sqrt{2}} x=\log_{2^{1/2}} x=2\log_2 x,$$

$$\log_{x^2} x=\frac{1}{2},$$

$$\log_8 x=\log_{2^3} x=\frac13\log_2 x.$$

Тогда

$$2\log_2 x+4\cdot \frac12+\frac13\log_2 x=16,$$

$$2\log_2 x+2+\frac13\log_2 x=16,$$

$$\frac73\log_2 x=14,$$

$$\log_2 x=6,$$

$$x=64.$$

Ответ: $$64.$$