Упр.173 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) log(2; x)+4/log(x; 2)=5; б) log(3; x)+log(vx; x)-log(1/3; x)=6;
в) 2log(v3; x)+log(x; 1/3)=3; г) log(v2; x)+4log(x^2; x)+log(8; x)=16.

1. а) $$\log_2 x+\frac{4}{\log_x 2}=5.$$

   Так как $$\log_x 2=\frac{1}{\log_2 x},$$ получаем:

   $$ \log_2 x+\frac{4}{1/\log_2 x}=5 $$
   $$ \log_2 x+4\log_2 x=5 $$
   $$ 5\log_2 x=5 $$
   $$ \log_2 x=1 $$
   $$ x=2. $$

2. б) $$\log_3 x+\log_{\sqrt{x}} x-\log_{1/3} x=6.$$

   Преобразуем логарифмы:

   $$ \log_{\sqrt{x}} x=\log_{x^{1/2}} x=2, \qquad \log_{1/3} x=-\log_3 x. $$

   Тогда

   $$ \log_3 x+2-(-\log_3 x)=6 $$
   $$ 2\log_3 x=4 $$
   $$ \log_3 x=2 $$
   $$ x=3^2=9. $$

3. в) $$2\log_{\sqrt{3}} x+\log_x \frac13=3.$$

   Переходим к основанию $3$:

   $$ \log_{\sqrt{3}} x=\log_{3^{1/2}} x=2\log_3 x, \qquad \log_x \frac13=\frac{\log_3 \frac13}{\log_3 x}=-\frac{1}{\log_3 x}. $$

   Пусть $$y=\log_3 x.$$ Тогда

   $$ 2\cdot 2y-\frac{1}{y}=3 $$
   $$ 4y-\frac{1}{y}=3 $$
   $$ 4y^2-3y-1=0. $$

   $$ D=9+16=25, $$
   $$ y_1=\frac{3-5}{8}=-\frac14,\qquad y_2=\frac{3+5}{8}=1. $$

   Тогда

   $$ x=3^{-1/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{3}} \qquad \text{или} \qquad x=3^1=3. $$

4. г) $$\log_{\sqrt{2}} x+4\log_{x^2} x+\log_8 x=16.$$

   Переходим к основанию $2$:

   $$ \log_{\sqrt{2}} x=2\log_2 x, \qquad \log_{x^2} x=\frac12, \qquad \log_8 x=\frac13\log_2 x. $$

   Тогда

   $$ 2\log_2 x+4\cdot \frac12+\frac13\log_2 x=16 $$
   $$ 2\log_2 x+2+\frac13\log_2 x=16 $$
   $$ \frac73\log_2 x=14 $$
   $$ \log_2 x=6 $$
   $$ x=2^6=64. $$

Ответ

а) $$2$$; б) $$9$$; в) $$\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$$, $$3$$; г) $$64$$.