Упр.173 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
$$\sin 4x+\sin^2 2x=0$$
Используем формулу двойного угла $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$:
$$2\sin 2x\cos 2x+\sin^2 2x=0$$
$$\sin 2x(2\cos 2x+\sin 2x)=0$$
Отсюда:
$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos 2x+\sin 2x=0$$
1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n,\; x=\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$
2) $$2\cos 2x+\sin 2x=0$$
Делим на $$\cos 2x$$:
$$2+\tg 2x=0 \Rightarrow \tg 2x=-2$$
$$2x=\arctg(-2)+\pi k=-\arctg 2+\pi k,\; k\in\mathbb Z$$
$$x=-\frac12\arctg 2+\frac{\pi k}{2},\; k\in\mathbb Z$$
$$\frac{3}{5\tg x+8}=1$$
Умножим на знаменатель:
$$3=5\tg x+8$$
$$5\tg x=-5 \Rightarrow \tg x=-1$$
$$x=\arctg(-1)+\pi n=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
$$\frac{5}{3\sin x+4}=2$$
Умножим на знаменатель:
$$5=2(3\sin x+4)$$
$$5=6\sin x+8$$
$$6\sin x=-3 \Rightarrow \sin x=-\frac12$$
Отсюда:
$$x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k,\; k\in\mathbb Z$$
$$1-\sin 2x=\left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)^2$$
Раскроем квадрат справа:
$$\left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)^2=\cos^2 \frac{x}{2}-2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+\sin^2 \frac{x}{2}$$
$$=1-\sin x$$
Тогда уравнение принимает вид:
$$1-\sin 2x=1-\sin x$$
$$\sin 2x=\sin x$$
$$2\sin x\cos x-\sin x=0$$
$$\sin x(2\cos x-1)=0$$
Следовательно:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12$$
1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
2) $$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,\; k\in\mathbb Z$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$ или $$x=-\frac12\arctg 2+\frac{\pi k}{2},\; k\in\mathbb Z$$;
б) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k,\; k\in\mathbb Z$$;
г) $$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$ или $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,\; k\in\mathbb Z$$.
