Упр.172 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) sin^8(x)+cos^8(x)=17/32;
б) sin^100(x)+cos^100(x)=1.

а) Обозначим $$y=\sin^2 2x.$$ Тогда

$$ \sin^8 x+\cos^8 x=(\sin^4 x+\cos^4 x)^2-2\sin^4 x\cos^4 x. $$

Так как

$$ \sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x, $$
$$ \sin^2 x\cos^2 x=\frac{\sin^2 2x}{4}=\frac{y}{4}, $$
то

$$ \sin^8 x+\cos^8 x=\left(1-\frac{y}{2}\right)^2-\frac{y^2}{8}. $$

По условию:

$$ \left(1-\frac{y}{2}\right)^2-\frac{y^2}{8}=\frac{17}{32}. $$

Умножим на $$32$$:

$$ 32-32y+8y^2-4y^2=17, $$
$$ 4y^2-32y+15=0. $$

Решаем квадратное уравнение:

$$ D=32^2-4\cdot 4\cdot 15=784, $$
$$ y_{1,2}=\frac{32\pm 28}{8}. $$

Получаем:

$$ y_1=\frac12,\qquad y_2=\frac{15}{2}. $$

Так как $$y=\sin^2 2x\le 1,$$ то подходит только $$y=\frac12.$$ Значит,

$$ \sin^2 2x=\frac12, $$
$$ \frac{1-\cos 4x}{2}=\frac12, $$
$$ \cos 4x=0. $$

Отсюда

$$ 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z, $$
$$ x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}. $$

б) Для любых $$x$$ имеем

$$ \sin^{100}x\le \sin^2 x,\qquad \cos^{100}x\le \cos^2 x. $$

Тогда

$$ \sin^{100}x+\cos^{100}x\le \sin^2 x+\cos^2 x=1. $$

Равенство возможно только тогда, когда одновременно

$$ \sin^{100}x=\sin^2 x,\qquad \cos^{100}x=\cos^2 x. $$

Это происходит при $$\sin x=0$$ или $$\cos x=0,$$ то есть при

$$ x=\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$