Упр.172 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) 2log(5; lg(x))=log(5; 10-9lg(x));
б) lg(3^x+x-17)=xlg(30)-x;
в) 2lg(lg(x))=lg(3-2lg(x));
г) x-xlg(5)=lg(2^x+x-3).

1. а) $$2\log_5(\lg x)=\log_5(10-9\lg x)$$

   $$\log_5\big((\lg x)^2\big)=\log_5(10-9\lg x)$$

   Так как логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то

   $$\lg^2 x=10-9\lg x.$$

   Пусть $$y=\lg x$$. Тогда

   $$y^2+9y-10=0.$$

   $$D=9^2+4\cdot 10=121,$$

   $$y_1=\frac{-9-11}{2}=-10,\qquad y_2=\frac{-9+11}{2}=1.$$

   Так как $$y=\lg x$$ и $$\lg x=1,$$ получаем

   $$x=10.$$

2. б) $$\lg(3^x+x-17)=x\lg 30-x$$

   $$x\lg 30-x=x(\lg 30-\lg 10)=x\lg 3.$$

   Тогда

   $$\lg(3^x+x-17)=\lg(3^x).$$

   Следовательно,

   $$3^x+x-17=3^x,$$

   $$x=17.$$

3. в) $$2\lg(\lg x)=\lg(3-2\lg x)$$

   $$\lg\big((\lg x)^2\big)=\lg(3-2\lg x)$$

   Отсюда

   $$\lg^2 x=3-2\lg x.$$

   Пусть $$y=\lg x$$. Тогда

   $$y^2+2y-3=0.$$

   $$D=2^2+4\cdot 3=16,$$

   $$y_1=\frac{-2-4}{2}=-3,\qquad y_2=\frac{-2+4}{2}=1.$$

   Из условия области определения $$\lg x>0$$, значит подходит только $$y=1$$.

   Тогда

   $$\lg x=1,\qquad x=10.$$

4. г) $$x-x\lg 5=\lg(2^x+x-3)$$

   $$x(1-\lg 5)=\lg(10^x)-\lg(5^x)=\lg\left(\frac{10^x}{5^x}\right)=\lg(2^x).$$

   Значит,

   $$\lg(2^x)=\lg(2^x+x-3).$$

   Тогда

   $$2^x=2^x+x-3,$$

   $$x=3.$$

Ответ

а) $$10$$; б) $$17$$; в) $$10$$; г) $$3$$.