Упр.171 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 171. Решите уравнение cos(?x/31)cos(2?x/31)cos(8?x/31)cos(16?x/31)=1/32.

Обозначим $$a=\frac{\pi x}{31}.$$ Тогда уравнение имеет вид

$$\cos a\cos 2a\cos 4a\cos 8a\cos 16a=\frac1{32}.$$

Используем формулу

$$\sin 2t=2\sin t\cos t.$$

Последовательно получаем:

$$ \sin 2a=2\sin a\cos a, $$

$$ \sin 4a=2\sin 2a\cos 2a=4\sin a\cos a\cos 2a, $$

$$ \sin 8a=8\sin a\cos a\cos 2a\cos 4a, $$

$$ \sin 16a=16\sin a\cos a\cos 2a\cos 4a\cos 8a, $$

$$ \sin 32a=32\sin a\cos a\cos 2a\cos 4a\cos 8a\cos 16a. $$

Следовательно, исходное уравнение равносильно

$$\frac{\sin 32a}{32\sin a}=\frac1{32},$$

то есть

$$\sin 32a=\sin a.$$

Возвращаясь к $$a=\frac{\pi x}{31},$$ получаем

$$\sin\frac{32\pi x}{31}=\sin\frac{\pi x}{31}.$$

Решим это уравнение по формуле $$\sin u=\sin v$$:

$$ u=v+2\pi k \quad \text{или} \quad u=\pi-v+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. $$

1) $$\frac{32\pi x}{31}=\frac{\pi x}{31}+2\pi k$$

$$31\pi x=62\pi k,$$

$$x=2k.$$

При этом нужно исключить значения, при которых какой-либо множитель в исходном произведении равен нулю. Для $$x=2k$$ это означает

$$\sin\frac{\pi x}{31}\ne 0,$$

то есть

$$\frac{\pi x}{31}\ne \pi m,\qquad m\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x\ne 31m.$$

Значит, в первом случае

$$x=2k,\qquad k\ne 31m,\ m\in\mathbb Z.$$

2) $$\frac{32\pi x}{31}=\pi-\frac{\pi x}{31}+2\pi n$$

$$33\pi x=31\pi(2n+1),$$

$$x=\frac{31}{33}(2n+1).$$

Здесь также требуется $$\sin\frac{\pi x}{31}\ne 0,$$ то есть

$$\frac{31}{33}(2n+1)\ne 31m,$$

или

$$2n+1\ne 33m,$$

что равносильно

$$n\ne 33m+16,\qquad m\in\mathbb Z.$$

Итак, получаем два семейства решений.

Ответ

$$x=2k,\ k\ne 31m;\qquad x=\frac{31}{33}(2n+1),\ n\ne 33m+16,\qquad k,n,m\in\mathbb Z.$$