Упр.170 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 170. Решите уравнение v2(sin(x)+cos(x))=tg(x)+ctg(x).

Преобразуем правую часть:

$$\tg x+\ctg x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\sin x\cos x}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\frac{1}{\sin x\cos x}.$$

Обозначим $$y=\sin x+\cos x.$$ Тогда

$$y^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+2\sin x\cos x,$$

откуда

$$\sin x\cos x=\frac{y^2-1}{2}.$$

Подставим в уравнение:

$$\sqrt{2}\,y=\frac{2}{y^2-1}.$$

Умножим на $$y^2-1$$:

$$\sqrt{2}\,y(y^2-1)=2,$$

$$y^3-y-\sqrt{2}=0.$$

Проверим корень $$y=\sqrt{2}$$:

$$\left(\sqrt{2}\right)^3-\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0.$$

Значит, $$y=\sqrt{2}$$ — корень уравнения. Тогда

$$\sin x+\cos x=\sqrt{2}.$$

Представим левую часть в виде суммы синуса:

$$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Получаем

$$\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2},$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1.$$

Следовательно,

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$