Упр.170 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) x^2·3^x-3^(x+1)?0; б) 3,7^((x^2+2x-15)/(x-4)) > 1;
в) x^2·5^x-5^(2+x) < 0; г) 2^(x+2)-2^(x+3)-2^(x+4) > 5^(x+1)-5^(x+2).

1. а) $$x^2\cdot 3^x-3^{x+1}\le 0$$

   Вынесем общий множитель $$3^x$$:

   $$3^x(x^2-3)\le 0.$$

   Так как $$3^x>0$$ при любом $$x$$, то

   $$x^2-3\le 0,$$

   $$x^2\le 3,$$

   $$|x|\le \sqrt{3}.$$

   Значит, $$x\in[-\sqrt{3};\sqrt{3}].$$

2. б) $$3{,}7^{\frac{x^2+2x-15}{x-4}}>1$$

   Так как основание $$3{,}7>1$$, то достаточно решить неравенство

   $$\frac{x^2+2x-15}{x-4}>0,$$

   при $$x\ne 4.$$

   Разложим числитель на множители:

   $$x^2+2x-15=(x+5)(x-3).$$

   Тогда

   $$\frac{(x+5)(x-3)}{x-4}>0.$$

   Критические точки: $$x=-5,\;3,\;4.$$

   По знакам получаем:

   $$x\in(-5;3)\cup(4;+\infty).$$

3. в) $$x^2\cdot 5^x-5^{x+2}<0$$

   Вынесем $$5^x$$:

   $$5^x(x^2-25)<0.$$

   Так как $$5^x>0$$, то

   $$x^2-25<0,$$

   $$x^2<25,$$

   $$|x|<5.$$

   Следовательно, $$x\in(-5;5).$$

4. г) $$2^{x+2}-2^{x+3}-2^{x+4}>5^{x+1}-5^{x+2}$$

   Преобразуем обе части:

   $$2^x(4-8-16)>5^x(5-25).$$

   Получаем

   $$-20\cdot 2^x>-20\cdot 5^x.$$

   Делим на $$-20$$, меняя знак неравенства:

   $$2^x<5^x.$$

   Так как $$5^x-2^x>0$$ при $$x>0$$, а при $$x=0$$ получаем равенство, то

   $$x>0.$$

Ответ

а) $$[-\sqrt{3};\sqrt{3}]$$; б) $$(-5;3)\cup(4;+\infty)$$; в) $$(-5;5)$$; г) $$ (0;+\infty)$$.