Упр.170 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$4\sin^2 x-\sin 2x=3$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и основное тригонометрическое тождество $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:

$$4\sin^2 x-2\sin x\cos x=3(\sin^2 x+\cos^2 x)$$

$$\sin^2 x-2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$$

Проверим случай $$\cos x=0$$. Тогда $$\sin^2 x=1$$, и левая часть равенства равна $$4\neq 3$$, значит, $$\cos x\neq 0$$.

Делим уравнение на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x-2\tg x-3=0$$

Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

$$t^2-2t-3=0$$

$$\left(t-3\right)\left(t+1\right)=0$$

Отсюда $$t=3$$ или $$t=-1$$.

Следовательно,

$$x=\arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

или

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$\cos 2x=2\cos x-1$$

Перепишем уравнение:

$$1+\cos 2x-2\cos x=0$$

Используем формулу $$1+\cos 2x=2\cos^2 x$$:

$$2\cos^2 x-2\cos x=0$$

$$2\cos x(\cos x-1)=0$$

Отсюда

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

или

$$x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

в) $$\sin 2x-\cos x=0$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$2\sin x\cos x-\cos x=0$$

$$\cos x(2\sin x-1)=0$$

Отсюда

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12$$

Если $$\cos x=0$$, то

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

Если $$\sin x=\frac12$$, то

$$x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

г) $$\sin 2x+4\cos^2 x=1$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и тождество $$1-\sin^2 x=\cos^2 x$$:

$$2\sin x\cos x+4\cos^2 x-1=0$$

$$2\sin x\cos x+3\cos^2 x-\sin^2 x=0$$

Проверим случай $$\cos x=0$$. Тогда $$\sin^2 x=1$$, и левая часть равна $$-1\neq 0$$, значит, $$\cos x\neq 0$$.

Делим уравнение на $$\cos^2 x$$:

$$2\tg x+3-\tg^2 x=0$$

$$\tg^2 x-2\tg x-3=0$$

Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

$$t^2-2t-3=0$$

$$\left(t-3\right)\left(t+1\right)=0$$

Отсюда $$t=3$$ или $$t=-1$$.

Следовательно,

$$x=\arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

или

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$ или $$x=\arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;

б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$ или $$x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;

в) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$ или $$x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;

г) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$ или $$x=\arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.