Упр.169 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) sin(x)-v3cos(x)=1;
б) 2sin(x)+3cos(x)=4.

Подробный ответ

а) Преобразуем левую часть:

$$ \sin x-\sqrt{3}\cos x=1 $$
$$ 2\left(\frac12\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)=1 $$
Заметим, что
$$ \frac12=\sin\frac{\pi}{6}, \qquad \frac{\sqrt3}{2}=\cos\frac{\pi}{6}. $$
Тогда
$$ \sin x\cos\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{3}\cos x=\frac12, $$
то есть
$$ \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12. $$
Отсюда
$$ x-\frac{\pi}{3}=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$
Следовательно,
$$ x=\frac{\pi}{3}+(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$

б) Рассмотрим уравнение

$$ 2\sin x+3\cos x=4. $$
Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:
$$ \sqrt{13}\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\sin x+\frac{3}{\sqrt{13}}\cos x\right)=4. $$
Пусть
$$ \cos\varphi=\frac{2}{\sqrt{13}}, \qquad \sin\varphi=\frac{3}{\sqrt{13}}. $$
Тогда
$$ \sqrt{13}\,(\sin x\cos\varphi+\cos x\sin\varphi)=4, $$
то есть
$$ \sqrt{13}\sin(x+\varphi)=4. $$
Но
$$ \frac{4}{\sqrt{13}}>1, $$
а значение синуса не может быть больше 1. Значит, решений нет.