Упр.169 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$3\sin^2 x+\sin x\cos x=2\cos^2 x$$

Проверим случай $$\cos x=0$$. Тогда получаем $$3\sin^2 x=0,$$ откуда $$\sin x=0,$$ что невозможно.

Значит, $$\cos x\ne 0,$$ и можно разделить уравнение на $$\cos^2 x$$:

$$3\tan^2 x+\tan x=2.$$

Пусть $$t=\tan x.$$ Тогда

$$3t^2+t-2=0,$$

$$D=1+24=25,$$

$$t_{1}=\frac{-1+5}{6}=\frac23,\qquad t_{2}=\frac{-1-5}{6}=-1.$$

Следовательно,

$$x=\arctan\frac23+\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$2\cos^2 x-3\sin x\cos x+\sin^2 x=0$$

Случай $$\cos x=0$$ невозможен: тогда $$\sin^2 x=0,$$ что противоречит $$\sin^2 x+\cos^2 x=1.$$

Делим на $$\cos^2 x$$:

$$2-3\tan x+\tan^2 x=0,$$

$$t^2-3t+2=0,$$ где $$t=\tan x.$$

Тогда

$$t_1=1,\qquad t_2=2.$$

Значит,

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=\arctan 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$9\sin x\cos x-7\cos^2 x=2\sin^2 x$$

При $$\cos x=0$$ левая часть равна $$0,$$ а правая — $$2,$$ противоречие. Значит, $$\cos x\ne 0.$$

Делим на $$\cos^2 x$$:

$$9\tan x-7=2\tan^2 x,$$

$$2t^2-9t+7=0,$$ где $$t=\tan x.$$

$$D=81-56=25,$$

$$t_1=1,\qquad t_2=\frac72.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=\arctan\frac72+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$2\sin^2 x-\sin x\cos x=\cos^2 x$$

Случай $$\cos x=0$$ невозможен: тогда $$2\sin^2 x=0,$$ то есть $$\sin x=0,$$ что противоречит тождеству $$\sin^2 x+\cos^2 x=1.$$

Делим на $$\cos^2 x$$:

$$2\tan^2 x-\tan x=1,$$

$$2t^2-t-1=0,$$ где $$t=\tan x.$$

$$D=1+8=9,$$

$$t_1=1,\qquad t_2=-\frac12.$$

Значит,

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=\arctan\!\left(-\frac12\right)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \ x=\arctan\frac23+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \ x=\arctan 2+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \ x=\arctan\frac72+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \ x=\arctan\!\left(-\frac12\right)+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$