Упр.169 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. $$3\sin^2 x+\sin x\cos x=2\cos^2 x$$

   Проверим случай $$\cos x=0$$. Тогда левая часть равна $$3\sin^2 x$$, а правая — $$0$$. Но при $$\cos x=0$$ имеем $$\sin x=\pm1$$, значит $$3\sin^2 x=3\neq0$$. Следовательно, $$\cos x\neq0$$.

   Разделим уравнение на $$\cos^2 x$$:

   $$3\tg^2 x+\tg x=2$$

   $$3\tg^2 x+\tg x-2=0$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

   $$3t^2+t-2=0$$

   $$D=1+24=25$$

   $$t_1=\frac{-1+5}{6}=\frac23,\qquad t_2=\frac{-1-5}{6}=-1$$

   Отсюда

   $$x=\arctg\frac23+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   или

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$2\cos^2 x-3\sin x\cos x+\sin^2 x=0$$

   Проверим случай $$\cos x=0$$. Тогда получаем $$\sin^2 x=0$$, что невозможно при $$\cos x=0$$. Значит, $$\cos x\neq0$$.

   Разделим на $$\cos^2 x$$:

   $$2-3\tg x+\tg^2 x=0$$

   $$\tg^2 x-3\tg x+2=0$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

   $$t^2-3t+2=0$$

   $$ (t-1)(t-2)=0 $$

   $$t_1=1,\qquad t_2=2$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   или

   $$x=\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3. $$9\sin x\cos x-7\cos^2 x=2\sin^2 x$$

   Проверим случай $$\cos x=0$$. Тогда левая часть равна $$0$$, а правая — $$2\sin^2 x=2$$, что невозможно. Значит, $$\cos x\neq0$$.

   Разделим на $$\cos^2 x$$:

   $$9\tg x-7=2\tg^2 x$$

   $$2\tg^2 x-9\tg x+7=0$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

   $$2t^2-9t+7=0$$

   $$D=81-56=25$$

   $$t_1=\frac{9+5}{4}= \frac72,\qquad t_2=\frac{9-5}{4}=1$$

   Отсюда

   $$x=\arctg 1+\pi n=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   или

   $$x=\arctg\frac72+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

4. $$2\sin^2 x-\sin x\cos x=\cos^2 x$$

   Проверим случай $$\cos x=0$$. Тогда получаем $$2\sin^2 x=0$$, то есть $$\sin x=0$$, что невозможно при $$\cos x=0$$. Значит, $$\cos x\neq0$$.

   Разделим на $$\cos^2 x$$:

   $$2\tg^2 x-\tg x=1$$

   $$2\tg^2 x-\tg x-1=0$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

   $$2t^2-t-1=0$$

   $$D=1+8=9$$

   $$t_1=1,\qquad t_2=-\frac12$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   или

   $$x=\arctg\left(-\frac12\right)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$ или $$x=\arctg\frac23+\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$ или $$x=\arctg 2+\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$ или $$x=\arctg\frac72+\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$ или $$x=\arctg\left(-\frac12\right)+\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.