Упр.168 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенства:

1. а) $$\frac{16}{\sqrt{32}} \mathrel{?} \left(\frac{1}{2}\right)^{3+x}$$; б) $$3^{x^2+x}<10^{\lg 9}$$; в) $$3\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2-3x}<\frac{1}{9}$$; г) $$4^{x^2+x-11}>5^{\log_5 4}$$.

а) $$\frac{16}{\sqrt{32}} \ge \left(\frac12\right)^{3+x}$$

$$\frac{16}{\sqrt{32}}=2^{4-\frac52}=2^{\frac32}, \qquad \left(\frac12\right)^{3+x}=2^{-3-x}$$

Тогда

$$2^{\frac32}\ge 2^{-3-x}$$

Так как основание $$2>1$$, сравниваем показатели:

$$\frac32\ge -3-x$$

$$\frac92\ge -x$$

$$x\ge -\frac92$$

Ответ: $$\left[-\frac92;\,+\infty\right)$$

б) $$3^{x^2+x}<10^{\lg 9}$$

Так как $$10^{\lg 9}=9=3^2$$, получаем

$$3^{x^2+x}<3^2$$

При основании $$3>1$$ имеем

$$x^2+x<2$$

$$x^2+x-2<0$$

$$(x+2)(x-1)<0$$

Отсюда

$$-2<x<1$$

Ответ: $$(-2;\,1)$$

в) $$3\cdot \left(\frac1{\sqrt3}\right)^{2-3x}<\frac19$$

$$3\cdot 3^{-\frac12(2-3x)}<3^{-2}$$

$$3^{1-\frac12(2-3x)}<3^{-2}$$

$$3^{\frac32x}<3^{-2}$$

Так как $$3>1$$, сравниваем показатели:

$$\frac32x<-2$$

$$x<-\frac43$$

Ответ: $$\left(-\infty;\,-\frac43\right)$$

г) $$4^{x^2+x-11}>5^{\log_5 4}$$

Так как $$5^{\log_5 4}=4$$, то

$$4^{x^2+x-11}>4^1$$

При основании $$4>1$$ получаем

$$x^2+x-11>1$$

$$x^2+x-12>0$$

$$(x+4)(x-3)>0$$

Отсюда

$$x<-4 \quad \text{или} \quad x>3$$

Ответ: $$(-\infty;\,-4)\cup(3;\,+\infty)$$