Упр.167 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$3^{2vx}+3^{2vx-1}-3^{2vx-2}=11$$; б) $$5^{\sin^2(x)}-25^{\cos(x)}=0$$; в) $$2^{\sin^2(x)}+2^{\cos^2(x)}=3$$; г) $$3\cdot 9^{1/x}+6^{1/x}=2\cdot 4^{1/x}$$.

а) $$3^{2\sqrt{x}}+3^{2\sqrt{x}-1}-3^{2\sqrt{x}-2}=11$$

Вынесем $$3^{2\sqrt{x}}$$ за скобки:

$$3^{2\sqrt{x}}\left(1+\frac13-\frac19\right)=11$$

$$3^{2\sqrt{x}}\cdot \frac{11}{9}=11$$

$$3^{2\sqrt{x}}=9=3^2$$

$$2\sqrt{x}=2,\quad \sqrt{x}=1,\quad x=1$$

Ответ: $$1$$.

б) $$5^{\sin^2 x}-25^{\cos x}=0$$

$$5^{\sin^2 x}-5^{2\cos x}=0$$

Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$, получаем:

$$5^{1-\cos^2 x}=5^{2\cos x}$$

Следовательно,

$$1-\cos^2 x=2\cos x$$

$$\cos^2 x+2\cos x-1=0$$

Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

$$y^2+2y-1=0$$

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-1)=8$$

$$y=\frac{-2\pm \sqrt{8}}{2}=-1\pm \sqrt{2}$$

Из них подходит только $$y=\sqrt{2}-1$$, так как $$\cos x\in[-1;1]$$.

Значит,

$$\cos x=\sqrt{2}-1$$

$$x=\pm \arccos(\sqrt{2}-1)+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x=\pm \arccos(\sqrt{2}-1)+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$.

в) $$2^{\sin^2 x}+2^{\cos^2 x}=3$$

Так как $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$, имеем:

$$2^{\sin^2 x}+2^{1-\sin^2 x}=3$$

Пусть $$y=2^{\sin^2 x}$$. Тогда

$$y+\frac{2}{y}=3$$

$$y^2-3y+2=0$$

$$(y-1)(y-2)=0$$

Отсюда $$y=1$$ или $$y=2$$.

1) $$2^{\sin^2 x}=1 \Rightarrow \sin^2 x=0 \Rightarrow x=\pi n$$

2) $$2^{\sin^2 x}=2 \Rightarrow \sin^2 x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

Оба случая можно записать как

$$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}$$.

г) $$3\cdot 9^{1/x}+6^{1/x}=2\cdot 4^{1/x}$$

Перепишем основания:

$$3\left(\frac94\right)^{1/x}+\left(\frac32\right)^{1/x}-2=0$$

Пусть $$t=\left(\frac32\right)^{1/x}$$. Тогда

$$\left(\frac94\right)^{1/x}=t^2,\qquad \left(\frac32\right)^{1/x}=t,\qquad \left(\frac43\right)^{1/x}=\frac1t$$

Удобно заметить, что

$$3\left(\frac94\right)^{1/x}+ \left(\frac32\right)^{1/x}-2\left(\frac43\right)^{1/x}=0$$

После замены получаем квадратное уравнение:

$$3t^2+t-2=0$$

$$D=1+24=25$$

$$t_1=\frac{-1-5}{6}=-1,\qquad t_2=\frac{-1+5}{6}=\frac23$$

Так как $$t=\left(\frac32\right)^{1/x}>0$$, значение $$t=-1$$ не подходит. Тогда

$$\left(\frac32\right)^{1/x}=\frac23=\left(\frac32\right)^{-1}$$

Следовательно,

$$\frac1x=-1,\quad x=-1$$

Ответ: $$-1$$.