Упр.167 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) sin(2x)+tg(x)=2;
б) sin(x)+ctg(x/2)=2.

а) $$\sin 2x+\tg x=2$$

Используем формулу $$\sin 2x=\frac{2\tg x}{1+\tg^2 x}$$:

$$\frac{2\tg x}{1+\tg^2 x}+\tg x=2$$
$$2\tg x+\tg x(1+\tg^2 x)=2(1+\tg^2 x)$$
$$2\tg x+\tg x+\tg^3 x=2+2\tg^2 x$$
$$\tg^3 x-2\tg^2 x+3\tg x-2=0$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$y^3-2y^2+3y-2=0$$
$$y=1$$

Разложим на множители:

$$y^3-2y^2+3y-2=(y-1)(y^2-y+2)$$

У квадратного уравнения $$y^2-y+2=0$$ дискриминант

$$D=1-8=-7<0,$$

поэтому действительных корней нет. Значит,

$$\tg x=1$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin x+\ctg\frac{x}{2}=2$$

Положим $$t=\tg\frac{x}{2}$$. Тогда

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \ctg\frac{x}{2}=\frac{1}{t}.$$

Подставим:

$$\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1}{t}=2$$
$$2t^2+1+t^2=2t(1+t^2)$$
$$2t^3-3t^2+2t-1=0$$

Проверим корень $$t=1$$:

$$2-3+2-1=0.$$

Тогда

$$2t^3-3t^2+2t-1=(t-1)(2t^2-t+1).$$

Для квадратного множителя

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot 1=1-8=-7<0,$$

действительных корней нет. Значит,

$$\tg\frac{x}{2}=1$$
$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
б) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$