Упр.167 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$\sin(2x)+\tg(x)=2$$; б) $$\sin(x)+\ctg\left(\frac{x}{2}\right)=2$$.

а) $$\sin 2x+\tg x=2.$$

Используем формулу $$\sin 2x=\dfrac{2\tg x}{1+\tg^2 x}.$$ Тогда

$$\dfrac{2\tg x}{1+\tg^2 x}+\tg x=2.$$

Умножим на $$1+\tg^2 x$$:

$$2\tg x+\tg x(1+\tg^2 x)=2(1+\tg^2 x).$$

Получаем

$$\tg^3 x-2\tg^2 x+3\tg x-2=0.$$

Положим $$y=\tg x$$. Тогда

$$y^3-2y^2+3y-2=0.$$

Проверим корень $$y=1$$:

$$1-2+3-2=0.$$

Значит,

$$y^3-2y^2+3y-2=(y-1)(y^2-y+2).$$

У квадратного уравнения

$$y^2-y+2=0$$

дискриминант

$$D=1-8=-7<0,$$

поэтому действительный корень только один: $$y=1.$$

Следовательно,

$$\tg x=1,$$

откуда

$$x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin x+\ctg \dfrac{x}{2}=2.$$

Положим $$t=\tg \dfrac{x}{2}.$$ Тогда

$$\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}, \qquad \ctg \dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{t}.$$

Подставим в уравнение:

$$\dfrac{2t}{1+t^2}+\dfrac{1}{t}=2.$$

Умножим на $$t(1+t^2)$$:

$$2t^2+1+t^2=2t(1+t^2).$$

Получаем

$$2t^3-3t^2+2t-1=0.$$

Проверим корень $$t=1$$:

$$2-3+2-1=0.$$

Тогда

$$2t^3-3t^2+2t-1=(t-1)(2t^2-t+1).$$

Для квадратного множителя

$$D=1-8=-7<0,$$

значит, действительный корень только один: $$t=1.$$

Следовательно,

$$\tg \dfrac{x}{2}=1,$$

откуда

$$\dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$