Упр.166 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$3\cdot4^x+2\cdot9^x=5\cdot6^x$$; б) $$8^x+18^x=2\cdot27^x$$; в) $$2\cdot25^x-5\cdot10^x+2\cdot4^x=0$$; г) $$3\cdot16^x+2\cdot81^x=5\cdot36^x$$.

а) $$3\cdot 4^x+2\cdot 9^x=5\cdot 6^x$$

Разделим обе части на $$6^x$$:

$$3\left(\frac{4}{6}\right)^x+2\left(\frac{9}{6}\right)^x=5$$

$$3\left(\frac{2}{3}\right)^x+2\left(\frac{3}{2}\right)^x=5$$

Обозначим $$t=\left(\frac{2}{3}\right)^x$$, тогда $$\left(\frac{3}{2}\right)^x=\frac{1}{t}$$. Получаем:

$$3t+\frac{2}{t}=5$$

$$3t^2-5t+2=0$$

$$D=25-24=1$$

$$t_1=\frac{5-1}{6}=\frac{2}{3}, \qquad t_2=\frac{5+1}{6}=1$$

Тогда:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac{2}{3}\Rightarrow x=1,$$

$$\left(\frac{2}{3}\right)^x=1\Rightarrow x=0.$$

Ответ: $$0;\,1$$

б) $$8^x+18^x=2\cdot 27^x$$

Разделим на $$27^x$$:

$$\left(\frac{8}{27}\right)^x+\left(\frac{18}{27}\right)^x=2$$

$$\left(\frac{2}{3}\right)^{3x}+\left(\frac{2}{3}\right)^x=2$$

Пусть $$y=\left(\frac{2}{3}\right)^x$$. Тогда:

$$y^3+y-2=0$$

$$y^3+y-2=y^3+2y-y-2=(y-1)(y^2+y+2)=0$$

Отсюда $$y=1$$, так как уравнение $$y^2+y+2=0$$ действительных корней не имеет.

$$\left(\frac{2}{3}\right)^x=1\Rightarrow x=0.$$

Ответ: $$0$$

в) $$2\cdot 25^x-5\cdot 10^x+2\cdot 4^x=0$$

Разделим на $$4^x$$:

$$2\left(\frac{25}{4}\right)^x-5\left(\frac{5}{2}\right)^x+2=0$$

Пусть $$t=\left(\frac{5}{2}\right)^x$$, тогда $$\left(\frac{25}{4}\right)^x=t^2$$. Получаем:

$$2t^2-5t+2=0$$

$$D=25-16=9$$

$$t_1=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}, \qquad t_2=\frac{5+3}{4}=2$$

Тогда:

$$\left(\frac{5}{2}\right)^x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\log_{5/2}\frac{1}{2}=-\log_{5/2}2,$$

$$\left(\frac{5}{2}\right)^x=2\Rightarrow x=\log_{5/2}2.$$

Ответ: $$\pm \log_{5/2}2$$

г) $$3\cdot 16^x+2\cdot 81^x=5\cdot 36^x$$

Разделим на $$36^x$$:

$$3\left(\frac{16}{36}\right)^x+2\left(\frac{81}{36}\right)^x=5$$

$$3\left(\frac{4}{9}\right)^x+2\left(\frac{9}{4}\right)^x=5$$

Пусть $$t=\left(\frac{9}{4}\right)^x$$, тогда $$\left(\frac{4}{9}\right)^x=\frac{1}{t}$$. Получаем:

$$\frac{3}{t}+2t=5$$

$$2t^2-5t+3=0$$

$$D=25-24=1$$

$$t_1=\frac{5-1}{4}=1, \qquad t_2=\frac{5+1}{4}=\frac{3}{2}$$

Тогда:

$$\left(\frac{9}{4}\right)^x=1\Rightarrow x=0,$$

$$\left(\frac{9}{4}\right)^x=\frac{3}{2}\Rightarrow x=\frac{1}{2}.$$

Ответ: $$0;\,\frac{1}{2}$$