Упр.166 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Положим в каждом пункте $$t=\sin x$$ или $$t=\cos x$$ и используем тождество $$\sin^2 x+\cos^2 x=1.$$

а)

$$2\cos^2 x+\sin x+1=0$$

$$2(1-\sin^2 x)+\sin x+1=0$$

$$2\sin^2 x-\sin x-1=0$$

Пусть $$t=\sin x$$. Тогда

$$2t^2-t-1=0$$

$$\begin{cases} t=1,\\ t=-\dfrac12. \end{cases}$$

Отсюда

$$\sin x=1 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,$$

$$\sin x=-\dfrac12 \Rightarrow x=(-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

б)

$$\cos^2 x+3\sin x=3$$

$$1-\sin^2 x+3\sin x-3=0$$

$$\sin^2 x-3\sin x+2=0$$

Пусть $$t=\sin x$$. Тогда

$$t^2-3t+2=0$$

$$\begin{cases} t=1,\\ t=2. \end{cases}$$

Так как $$\sin x\in[-1,1],$$ значение $$t=2$$ не подходит. Значит,

$$\sin x=1 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в)

$$4\cos x=4-\sin^2 x$$

$$4\cos x=4-1+\cos^2 x$$

$$\cos^2 x-4\cos x+3=0$$

Пусть $$t=\cos x$$. Тогда

$$t^2-4t+3=0$$

$$\begin{cases} t=1,\\ t=3. \end{cases}$$

Так как $$\cos x\in[-1,1],$$ значение $$t=3$$ не подходит. Следовательно,

$$\cos x=1 \Rightarrow x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г)

$$8\sin^2 x+\cos x+1=0$$

$$8(1-\cos^2 x)+\cos x+1=0$$

$$8\cos^2 x-\cos x-9=0$$

Пусть $$t=\cos x$$. Тогда

$$8t^2-t-9=0$$

$$\begin{cases} t=1,\\ t=-\dfrac98. \end{cases}$$

Так как $$\cos x\in[-1,1],$$ значение $$t=-\dfrac98$$ не подходит. Значит,

$$\cos x=1 \Rightarrow x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=(-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z;\\ &\text{б) } x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\\ &\text{в) } x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\\ &\text{г) } x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z. \end{aligned}$$