Упр.166 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
а) $$2\cos^2 x+\sin x+1=0$$
Используем тождество $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:
$$2(1-\sin^2 x)+\sin x+1=0$$
$$2\sin^2 x-\sin x-1=0$$
Пусть $$t=\sin x$$. Тогда
$$2t^2-t-1=0$$
$$t=1 \quad \text{или} \quad t=-\frac12$$
1) $$\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
2) $$\sin x=-\frac12 \Rightarrow x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$
б) $$\cos^2 x+3\sin x=3$$
Подставим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:
$$1-\sin^2 x+3\sin x-3=0$$
$$\sin^2 x-3\sin x+2=0$$
Пусть $$t=\sin x$$. Тогда
$$t^2-3t+2=0$$
$$t=1 \quad \text{или} \quad t=2$$
Значение $$t=2$$ не подходит, так как $$|\sin x|\le 1$$.
Значит, $$\sin x=1$$, откуда
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
в) $$4\cos x=4-\sin^2 x$$
Используем тождество $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:
$$4\cos x=4-1+\cos^2 x$$
$$\cos^2 x-4\cos x+3=0$$
Пусть $$t=\cos x$$. Тогда
$$t^2-4t+3=0$$
$$t=1 \quad \text{или} \quad t=3$$
Значение $$t=3$$ не подходит, так как $$|\cos x|\le 1$$.
Значит, $$\cos x=1$$, откуда
$$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
г) $$8\sin^2 x+\cos x+1=0$$
Подставим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:
$$8(1-\cos^2 x)+\cos x+1=0$$
$$8\cos^2 x-\cos x-9=0$$
Пусть $$t=\cos x$$. Тогда
$$8t^2-t-9=0$$
$$t=1 \quad \text{или} \quad t=-\frac98$$
Значение $$t=-\frac98$$ не подходит, так как $$|\cos x|\le 1$$.
Значит, $$\cos x=1$$, откуда
$$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$
б) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
в) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
г) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
