Упр.165 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) 1/cos^4(x)-tg^4(x)=17; б) tg(3x)-tg(x)=2(sin(4x)-sin(2x));
в) 3(log(2; sin(x)))^2+log(2; 1-cos(2x))=2; г) 2^(2tg(x/2)-cos(x))=4.

1. а) $$\frac{1}{\cos^4 x}-\tg^4 x=17.$$

   Преобразуем:

   $$ \frac{1-\sin^4 x}{\cos^4 x}=17 $$
   $$ \frac{(1-\sin^2 x)(1+\sin^2 x)}{\cos^4 x}=17 $$
   $$ \frac{\cos^2 x(1+\sin^2 x)}{\cos^4 x}=17 $$
   $$ 1+\sin^2 x=17\cos^2 x $$
   $$ 1+1-\cos^2 x=17\cos^2 x $$
   $$ 18\cos^2 x=2,\qquad \cos^2 x=\frac19. $$

   Следовательно,

   $$ \cos x=\pm \frac13. $$

   $$ x=\pm \arccos \frac13+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$

2. б) $$\tg 3x-\tg x=2(\sin 4x-\sin 2x).$$

   Используем формулы:

   $$ \tg 3x-\tg x=\frac{\sin 3x}{\cos 3x}-\frac{\sin x}{\cos x}, $$
   $$ \sin 4x-\sin 2x=2\cos 3x\sin x. $$

   Тогда

   $$ \frac{\sin 3x\cos x-\sin x\cos 3x}{\cos 3x\cos x}=4\sin x\cos 3x. $$

   Так как $$\sin 3x\cos x-\sin x\cos 3x=\sin 2x,$$ получаем

   $$ \sin 2x=4\sin x\cos x\cos^2 3x. $$

   Но $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ значит

   $$ 2\sin x\cos x\,(2\cos^2 3x-1)=0. $$

   Отсюда:

   $$ \sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos^2 3x-1=0. $$

   1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

   2) $$2\cos^2 3x-1=0 \Rightarrow \cos 6x=0,$$ значит
   $$ 6x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6}. $$

   С учётом области определения исходного уравнения исключаем значения, при которых $$\cos x=0$$ или $$\cos 3x=0.$$

   В итоге:
   $$ x=\frac{\pi n}{2},\qquad x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6},\qquad n\in\mathbb Z. $$

3. в) $$3(\log_2 \sin x)^2+\log_2(1-\cos 2x)=2.$$

   Так как $$1-\cos 2x=2\sin^2 x,$$ то

   $$ 3(\log_2 \sin x)^2+\log_2(2\sin^2 x)=2. $$

   Пусть $$y=\log_2 \sin x.$$ Тогда

   $$ \log_2(2\sin^2 x)=1+2\log_2 \sin x=1+2y. $$

   Получаем квадратное уравнение:

   $$ 3y^2+1+2y=2 $$
   $$ 3y^2+2y-1=0. $$

   $$ D=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16, $$
   $$ y_1=-1,\qquad y_2=\frac13. $$

   1) $$\log_2 \sin x=-1 \Rightarrow \sin x=\frac12,$$ значит

   $$ x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$

   2) $$\log_2 \sin x=\frac13 \Rightarrow \sin x=2^{1/3}>1,$$ что невозможно.

   Следовательно,

   $$ x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$

4. г) $$2^{\,2\tg\frac{x}{2}-\cos x}=4.$$

   Так как $$4=2^2,$$ то

   $$ 2\tg\frac{x}{2}-\cos x=2. $$

   Используем формулу

   $$ \cos x=\frac{1-\tg^2\frac{x}{2}}{1+\tg^2\frac{x}{2}}. $$

   Пусть $$y=\tg\frac{x}{2}.$$ Тогда

   $$ 2y-\frac{1-y^2}{1+y^2}=2. $$

   Умножим на $$1+y^2$$:

   $$ 2y(1+y^2)-1+y^2=2(1+y^2) $$
   $$ 2y^3-y^2+2y-3=0. $$

   Проверяем корень $$y=1$$:

   $$ 2-1+2-3=0. $$

   Тогда

   $$ (y-1)(2y^2+y+3)=0. $$

   У квадратного множителя дискриминант отрицателен, поэтому действительных корней нет. Значит,

   $$ y=1,\qquad \tg\frac{x}{2}=1. $$

   $$ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$x=\pm \arccos \frac13+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x=\frac{\pi n}{2}\ \text{или}\ x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6},\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$