Упр.165 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
а) $$6\cos^2 x+\cos x-1=0$$
Положим $$t=\cos x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:
$$6t^2+t-1=0$$
$$D=1+24=25$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{12}$$
$$t_1=\frac13,\quad t_2=-\frac12$$
Тогда
$$\cos x=\frac13 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12$$
Отсюда
$$x=\pm \arccos \frac13+2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$
б) $$2\sin^2 x+3\cos x=0$$
Заменим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:
$$2(1-\cos^2 x)+3\cos x=0$$
$$2\cos^2 x-3\cos x-2=0$$
Положим $$t=\cos x$$. Тогда
$$2t^2-3t-2=0$$
$$D=9+16=25$$
$$t_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}$$
$$t_1=2,\quad t_2=-\frac12$$
Значение $$t=2$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1]$$.
Остаётся
$$\cos x=-\frac12$$
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$
в) $$4\cos^2 x-8\cos x+3=0$$
Положим $$t=\cos x$$. Тогда
$$4t^2-8t+3=0$$
$$D=64-48=16$$
$$t_{1,2}=\frac{8\pm 4}{8}$$
$$t_1=\frac12,\quad t_2=\frac32$$
Значение $$t=\frac32$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1]$$.
Следовательно,
$$\cos x=\frac12$$
$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$
г) $$5\sin^2 x+6\cos x-6=0$$
Заменим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:
$$5(1-\cos^2 x)+6\cos x-6=0$$
$$5\cos^2 x-6\cos x+1=0$$
Положим $$t=\cos x$$. Тогда
$$5t^2-6t+1=0$$
$$D=36-20=16$$
$$t_{1,2}=\frac{6\pm 4}{10}$$
$$t_1=1,\quad t_2=\frac15$$
Тогда
$$\cos x=1 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac15$$
Отсюда
$$x=2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$
$$x=\pm \arccos \frac15+2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$
Ответ
а) $$x=\pm \arccos \frac13+2\pi n,\ n\in \mathbb Z;\quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$
б) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$
в) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$
г) $$x=2\pi n,\ n\in \mathbb Z;\quad x=\pm \arccos \frac15+2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$
