Упр.165 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Положим $$t=\cos x.$$ Тогда каждое уравнение сводится к квадратному относительно $$t$$.
$$6\cos^2 x+\cos x-1=0$$
$$6t^2+t-1=0$$
$$D=1+24=25,$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{12}.$$
Получаем:
$$t_1=\frac13,\qquad t_2=-\frac12.$$
Тогда
$$\cos x=\frac13 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12.$$
Следовательно,
$$x=\pm \arccos \frac13+2\pi n,\ n\in \mathbb Z,$$
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$
$$2\sin^2 x+3\cos x=0$$
Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x,$$ то
$$2(1-\cos^2 x)+3\cos x=0,$$
$$2\cos^2 x-3\cos x-2=0.$$
Пусть $$t=\cos x$$. Тогда
$$2t^2-3t-2=0,$$
$$D=9+16=25,$$
$$t_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}.$$
Имеем:
$$t_1=2,\qquad t_2=-\frac12.$$
Значение $$t=2$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1].$$
Остаётся
$$\cos x=-\frac12,$$
откуда
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$
$$4\cos^2 x-8\cos x+3=0$$
Пусть $$t=\cos x$$. Тогда
$$4t^2-8t+3=0,$$
$$D=64-48=16,$$
$$t_{1,2}=\frac{8\pm 4}{8}.$$
Получаем:
$$t_1=\frac12,\qquad t_2=\frac32.$$
Значение $$t=\frac32$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1].$$
Следовательно,
$$\cos x=\frac12,$$
$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$
$$5\sin^2 x+6\cos x-6=0$$
Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x,$$ то
$$5(1-\cos^2 x)+6\cos x-6=0,$$
$$5\cos^2 x-6\cos x+1=0.$$
Пусть $$t=\cos x$$. Тогда
$$5t^2-6t+1=0,$$
$$D=36-20=16,$$
$$t_{1,2}=\frac{6\pm 4}{10}.$$
Получаем:
$$t_1=\frac15,\qquad t_2=1.$$
Следовательно,
$$\cos x=\frac15 \quad \text{или} \quad \cos x=1.$$
Отсюда
$$x=\pm \arccos \frac15+2\pi n,\ n\in \mathbb Z,$$
$$x=2\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=\pm \arccos \frac13+2\pi n,\ x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z;$$
б) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z;$$
в) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z;$$
г) $$x=\pm \arccos \frac15+2\pi n,\ x=2\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$
