Упр.163 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) 3+2sin(2x)=tg(x)+ctg(x);
б) tg(x)-sin(x)=1-tg(x)sin(x);
в) sin^2(x)+sin^2(2x)=sin^2(3x);
г) v(6sin(x))-2cos(x)=0.

1. а)

   $$3+2\sin 2x=\tg x+\ctg x$$
   $$3+2\sin 2x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x}$$
   Пусть $$y=\sin 2x$$. Тогда
   $$3+2y=\frac{2}{y}$$
   $$2y^2+3y-2=0$$
   $$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25$$
   $$y_1=\frac{-3-5}{4}=-2,\qquad y_2=\frac{-3+5}{4}=\frac12$$
   Значение $$y=-2$$ не подходит, так как $$\sin 2x\neq -2$$ для действительных $$x$$.
   Тогда
   $$\sin 2x=\frac12$$
   $$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$
   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}$$

2. б)

   $$\tg x-\sin x=1-\tg x\sin x$$
   $$\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x=1-\frac{\sin x}{\cos x}\sin x$$
   Умножим на $$\cos x$$:
   $$\sin x-\sin x\cos x=\cos x-\sin^2 x$$
   $$\sin x+\sin^2 x=\cos x+\sin x\cos x$$
   $$\sin x(1+\sin x)=\cos x(1+\sin x)$$
   $$\bigl(\sin x-\cos x\bigr)(1+\sin x)=0$$
   Отсюда:
   $$\sin x-\cos x=0 \quad \Rightarrow \quad \tg x=1 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
   или
   $$1+\sin x=0 \quad \Rightarrow \quad \sin x=-1$$
   Но при $$\sin x=-1$$ имеем $$\cos x=0$$, а тогда $$\tg x$$ не существует, значит это решение не подходит.

3. в)

   $$\sin^2 x+\sin^2 2x=\sin^2 3x$$
   $$\sin^2 x-\sin^2 3x+\sin^2 2x=0$$
   $$\bigl(\sin x-\sin 3x\bigr)\bigl(\sin x+\sin 3x\bigr)+\sin^2 2x=0$$
   $$-2\sin x\cos 2x\cdot 2\sin 2x\cos x+\sin^2 2x=0$$
   $$-\sin 2x\sin 4x+\sin^2 2x=0$$
   $$\sin 2x\bigl(\sin 2x-\sin 4x\bigr)=0$$
   $$\sin 2x\bigl(-2\sin x\cos 3x\bigr)=0$$
   Значит,
   $$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0$$
   Из $$\sin 2x=0$$ получаем
   $$x=\frac{\pi n}{2}$$
   Из $$\cos 3x=0$$ получаем
   $$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}$$
   Значения $$x=\pi n$$ уже входят в решение $$x=\frac{\pi n}{2}$$.

4. г)

   $$\sqrt{6\sin x}-2\cos x=0$$
   $$\sqrt{6\sin x}=2\cos x$$
   Возведём в квадрат:
   $$6\sin x=4\cos^2 x$$
   $$6\sin x=4(1-\sin^2 x)$$
   $$2\sin^2 x+3\sin x-2=0$$
   Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
   $$2y^2+3y-2=0$$
   $$D=25$$
   $$y_1=-2,\qquad y_2=\frac12$$
   Значение $$y=-2$$ не подходит.
   Тогда
   $$\sin x=\frac12$$
   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$
   Проверим область определения: из $$\sqrt{6\sin x}$$ нужно $$\sin x\ge 0$$, а из равенства $$\sqrt{6\sin x}=2\cos x$$ также $$\cos x\ge 0$$. Поэтому остаются только значения
   $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}$$;
б) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$;
в) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}$$;
г) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.