Упр.161 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства: а) $$|\cos(x)-1|\leq 0{,}5$$; б) $$\sin(x)<\cos(x)$$; в) $$\left|\sin(2x)+\frac{1}{2}\right|\leq\frac{1}{2}$$; г) $$\operatorname{tg}(x)+\operatorname{ctg}(x)>0$$.

а) $$| \cos x — 1 | \le 0{,}5$$

Так как $$\cos x \le 1,$$ то

$$1-\cos x \le 0{,}5,$$

откуда

$$\cos x \ge \frac12.$$

Следовательно,

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n \le x \le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin x<\cos x$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\sin x-\cos x<0.$$

Используем формулу:

$$\sin x-\cos x=\sqrt2\,\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)<0.$$

Отсюда

$$-\pi+2\pi n<x-\frac{\pi}{4}<2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\left|\sin 2x+\frac12\right|\le \frac12$$

Запишем двойное неравенство:

$$-\frac12\le \sin 2x+\frac12\le \frac12.$$

Вычтем $$\frac12$$:

$$-1\le \sin 2x\le 0.$$

Значит,

$$-\pi+2\pi n\le 2x\le 2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n\le x\le \pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\tg x+\ctg x>0$$

Преобразуем:

$$\tg x+\frac1{\tg x}>0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\tg^2 x+1}{\tg x}>0.$$

Так как $$\tg^2 x+1>0,$$ то знак дроби определяется знаком знаменателя. Следовательно,

$$\tg x>0.$$

С учётом области определения получаем

$$\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

б) $$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

в) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n\le x\le \pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

г) $$\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$