Упр.161 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите системы уравнений:
а) $$\begin{cases}x^2-y\sqrt{xy}=36,\\ y^2-x\sqrt{xy}=72;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}\sqrt{\frac{6x}{x+y}}+\sqrt{\frac{x+y}{6x}}=\frac{6}{2},\\ xy-x-y=0.\end{cases}$$
а) Обозначим $$t=\sqrt{xy}.$$ Тогда система принимает вид
$$\begin{cases} x^2-yt=36,\\ y^2-xt=72. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x^2-y\sqrt{xy}=36.$$
Из второго уравнения:
$$y^2-x\sqrt{xy}=72.$$
Так как в решении рассматривается случай $$x<0,\ y<0,$$ то
$$\sqrt{xy}=\sqrt{|x||y|}, \qquad y=4x.$$
Подставим $$y=4x$$ в первое уравнение:
$$x^2-4x\sqrt{x\cdot 4x}=36.$$
Так как $$x<0,$$ то $$\sqrt{4x^2}=2|x|=-2x,$$ поэтому
$$x^2-4x\cdot(-2x)=36,$$
$$9x^2=36,$$
$$x^2=4.$$
С учётом условия $$x<0$$ получаем $$x=-2,$$ тогда
$$y=4x=-8.$$
б) Пусть
$$z=\sqrt{\frac{6x}{x+y}}.$$
Тогда
$$\sqrt{\frac{x+y}{6x}}=\frac{1}{z},$$
и первое уравнение системы даёт
$$z+\frac{1}{z}=\frac{5}{2}.$$
Умножим на $$z$$:
$$2z^2-5z+2=0.$$
Отсюда
$$D=25-16=9,$$
$$z_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad z_2=\frac{5+3}{4}=2.$$
1) Если $$z=\frac12,$$ то
$$\sqrt{\frac{6x}{x+y}}=\frac12,\qquad \frac{6x}{x+y}=\frac14.$$
Тогда
$$24x=x+y,\qquad y=23x.$$
Из второго уравнения системы $$xy-x-y=0$$ получаем
$$23x^2-x-23x=0,$$
$$23x^2-24x=0,$$
$$x(23x-24)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=\frac{24}{23}.$$ Значение $$x=0$$ не подходит, так как выражения под корнями не определены. Тогда
$$x=\frac{24}{23},\qquad y=23x=24.$$
2) Если $$z=2,$$ то
$$\sqrt{\frac{6x}{x+y}}=2,\qquad \frac{6x}{x+y}=4.$$
Тогда
$$6x=4x+4y,\qquad x=2y.$$
Подставим в $$xy-x-y=0$$:
$$2y^2-2y-y=0,$$
$$2y^2-3y=0,$$
$$y(2y-3)=0.$$
Отсюда $$y=0$$ или $$y=\frac32.$$ Значение $$y=0$$ не подходит. Тогда
$$y=\frac32,\qquad x=2y=3.$$
Ответ
а) $$(-2;\,-8)$$;
б) $$\left(\frac{24}{23};\,24\right),\ (3;\,\frac32).$$
