Упр.161 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) |cos(x)-1|?0,5; б) sin(x) < cos(x); в) |sin(2x)+1/2|?1/2; г) tg(x)+ctg(x) > 0.

1. а) $$|\cos x-1|\le 0{,}5$$

   Так как $$\cos x-1\le 0$$, то

   $$|\cos x-1|=1-\cos x.$$

   Тогда

   $$1-\cos x\le 0{,}5,$$

   $$\cos x\ge \frac12.$$

   Отсюда

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$\sin x<\cos x$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\sin x-\cos x<0.$$

   Используем формулу:

   $$\sin x-\cos x=\sqrt2\,\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

   Тогда

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)<0.$$

   Следовательно,

   $$-\pi+2\pi n<x-\frac{\pi}{4}<2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   то есть

   $$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$\left|\sin 2x+\frac12\right|\le \frac12$$

   Раскроем модуль:

   $$-\frac12\le \sin 2x+\frac12\le \frac12.$$

   Вычтем $$\frac12$$:

   $$-1\le \sin 2x\le 0.$$

   Так как $$\sin 2x\in[-1,0]$$, то

   $$-\pi+2\pi n\le 2x\le 2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Делим на 2:

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n\le x\le \pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$\tg x+\ctg x>0$$

   Пусть $$\tg x\ne 0$$. Тогда

   $$\tg x+\frac{1}{\tg x}>0,$$

   $$\frac{\tg^2 x+1}{\tg x}>0.$$

   Так как $$\tg^2 x+1>0$$ при всех допустимых $$x$$, то неравенство выполняется тогда и только тогда, когда

   $$\tg x>0.$$

   Следовательно,

   $$\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

в) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n\le x\le \pi n,\ n\in\mathbb Z$$

г) $$\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$