Упр.161 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\ctg x \ge \sqrt{3}.$$

Функция $$\ctg x$$ убывает на каждом промежутке $$\left(\pi n;\,\pi(n+1)\right)$$, поэтому неравенство выполняется при

$$x \in \left[\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z}.$$

б) $$\sqrt{3}\,\ctg\left(\frac{\pi}{4}-2x\right) > 1.$$

Разделим на $$\sqrt{3}$$:

$$\ctg\left(\frac{\pi}{4}-2x\right) > \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Так как $$\ctg t$$ убывает, то

$$\frac{\pi}{4}-2x \in \left(\pi n;\,\frac{\pi}{3}+\pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Решая двойное неравенство относительно $$x$$, получаем

$$x \in \left(\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}\right), \quad n \in \mathbb{Z}.$$

в) $$\ctg 3x \le -\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Поскольку $$-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}=\ctg\frac{2\pi}{3},$$ а функция $$\ctg t$$ убывает, то

$$3x \in \left[\frac{2\pi}{3}+\pi n;\,\pi+\pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Делим на $$3$$:

$$x \in \left[\frac{2\pi}{9}+\frac{\pi n}{3};\,\frac{\pi}{3}+\frac{\pi n}{3}\right), \quad n \in \mathbb{Z}.$$

г) $$3\ctg\left(\frac{\pi}{6}+\frac{x}{2}\right) > -\sqrt{3}.$$

Разделим на $$3$$:

$$\ctg\left(\frac{\pi}{6}+\frac{x}{2}\right) > -\frac{\sqrt{3}}{3}=\ctg\frac{2\pi}{3}.$$

Так как $$\ctg t$$ убывает, то

$$\frac{\pi}{6}+\frac{x}{2} \in \left(\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+\pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Отсюда

$$x \in \left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x \in \left[\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z};$$
б) $$x \in \left(\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}\right), \quad n \in \mathbb{Z};$$
в) $$x \in \left[\frac{2\pi}{9}+\frac{\pi n}{3};\,\frac{\pi}{3}+\frac{\pi n}{3}\right), \quad n \in \mathbb{Z};$$
г) $$x \in \left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z}.$$