Упр.160 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства: а) $$2\sin^2(x)?1$$; б) $$3\operatorname{tg}^2(2x)?1$$; в) $$4\cos^2(x)?3$$; г) $$\operatorname{tg}^2\left(\frac{x}{2}\right)?0$$.

а) $$2\sin^2 x\le 1$$

$$1-\cos 2x\le 1$$

$$\cos 2x\ge 0$$

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le 2x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$-\frac{\pi}{4}+\pi n\le x\le \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

б) $$3\tg^2 2x\le 1$$

$$\frac{1-\cos 4x}{1+\cos 4x}\le \frac13$$

$$3-3\cos 4x\le 1+\cos 4x$$

$$4\cos 4x\ge 2,\quad \cos 4x\ge \frac12$$

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le 4x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}\le x\le \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

в) $$4\cos^2 x\le 3$$

$$2(1+\cos 2x)\le 3$$

$$1+\cos 2x\le \frac32$$

$$\cos 2x\le \frac12$$

$$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le 2x\le \frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$\frac{\pi}{6}+\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

г) $$\tg^2\frac{x}{2}\ge 0$$

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то неравенство выполняется при всех значениях $$x$$, для которых выражение определено.

$$\cos\frac{x}{2}\ne 0$$

$$x\ne \pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x\in\left[-\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x\in\left[-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}\right],\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x\in\left[\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$

г) $$x\in\mathbb R,\ x\ne \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$