Упр.160 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите системы уравнений:
- а) $$\begin{cases} \sqrt[3]{x+2y}+\sqrt[3]{x-y+2}=3,\\ 2x+y=7; \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} x^2+2y+\sqrt{x^2+2y+1}=1,\\ 2x+y=2; \end{cases}$$
в) $$\begin{cases} x-y+\sqrt{x^2-4y^2}=2,\\ x^5\sqrt{x^2-4y^2}=0; \end{cases}$$
г) $$\begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}=\dfrac{1}{6},\\ \sqrt[3]{xy}=6. \end{cases}$$
а) Пусть $$a=\sqrt[3]{x+2y}, \quad b=\sqrt[3]{x-y+2}.$$ Тогда
$$a+b=3,$$
$$a^3+b^3=(x+2y)+(x-y+2)=2x+y+2=7+2=9.$$
Используем формулу
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$
Получаем
$$3(a^2-ab+b^2)=9,$$
$$a^2-ab+b^2=3.$$
Так как $$b=3-a,$$ то
$$a^2-a(3-a)+(3-a)^2=3,$$
$$a^2-3a+a^2+9-6a+a^2=3,$$
$$3a^2-9a+6=0,$$
$$a^2-3a+2=0,$$
$$D=9-8=1,$$
$$a_1=1,\quad a_2=2.$$
Тогда
$$b_1=3-1=2,\quad b_2=3-2=1.$$
1) Если $$a=1,\ b=2,$$ то
$$x+2y=1,\quad x-y+2=8,$$
$$x-y=6.$$
Из системы
$$\begin{cases} x+2y=1,\\ x-y=6 \end{cases}$$
получаем
$$3y=-5,\quad y=-\frac{5}{3},\quad x=\frac{13}{3}.$$
2) Если $$a=2,\ b=1,$$ то
$$x+2y=8,\quad x-y+2=1,$$
$$x-y=-1.$$
Из системы
$$\begin{cases} x+2y=8,\\ x-y=-1 \end{cases}$$
получаем
$$3y=9,\quad y=3,\quad x=2.$$
Ответ: $$\left(\frac{13}{3};-\frac{5}{3}\right),\ (2;3).$$
б) Из второго уравнения
$$2x+y=2,\quad y=2-2x.$$
Пусть
$$z=\sqrt{x^2+2y+1}.$$
Тогда первое уравнение принимает вид
$$z^2+z=2,$$
$$z^2+z-2=0,\quad z\ge 0.$$
$$D=1+8=9,$$
$$z_1=-2,\quad z_2=1.$$
Так как $$z\ge 0,$$ то $$z=1.$$ Тогда
$$\sqrt{x^2+2y+1}=1,$$
$$x^2+2y+1=1,$$
$$x^2+2y=0.$$
Подставим $$y=2-2x$$:
$$x^2+2(2-2x)=0,$$
$$x^2-4x+4=0,$$
$$\left(x-2\right)^2=0,$$
$$x=2,\quad y=-2.$$
Ответ: $$(2;-2).$$
в) Из первого уравнения
$$\sqrt{x^2-4y^2}=2-x+y.$$
Во втором уравнении произведение равно нулю:
$$x^5\sqrt{x^2-4y^2}=0.$$
Значит, либо $$x=0,$$ либо $$\sqrt{x^2-4y^2}=0.$$
Если $$x=0,$$ то из первого уравнения получаем
$$-y+\sqrt{-4y^2}=2,$$
что невозможно, так как подкоренное выражение неотрицательно только при $$y=0,$$ а тогда $$0=2.$$
Значит, $$\sqrt{x^2-4y^2}=0,$$ то есть
$$x^2-4y^2=0.$$
Тогда из первого уравнения
$$2-x+y=0,$$
$$x=y+2.$$
Подставим в $$x^2-4y^2=0$$:
$$\left(y+2\right)^2-4y^2=0,$$
$$y^2+4y+4-4y^2=0,$$
$$3y^2-4y-4=0.$$
$$D=16+48=64,$$
$$y_1=-\frac{2}{3},\quad y_2=2.$$
Тогда
$$x_1=\frac{4}{3},\quad x_2=4.$$
Ответ: $$\left(\frac{4}{3};-\frac{2}{3}\right),\ (4;2).$$
г) Пусть
$$a=\sqrt[3]{x},\quad b=\sqrt[3]{y}.$$
Тогда система имеет вид
$$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{6},\quad ab=6.$$
Из второго уравнения $$b=\frac{6}{a}.$$ Подставим в первое:
$$\frac{1}{a}-\frac{a}{6}=\frac{1}{6}.$$
Умножим на $$6a$$:
$$6-a^2=a,$$
$$a^2+a-6=0.$$
$$D=1+24=25,$$
$$a_1=-3,\quad a_2=2.$$
Тогда
$$b_1=\frac{6}{-3}=-2,\quad b_2=\frac{6}{2}=3.$$
Следовательно,
$$x_1=(-3)^3=-27,\quad y_1=(-2)^3=-8,$$
$$x_2=2^3=8,\quad y_2=3^3=27.$$
Ответ: $$(-27;-8),\ (8;27).$$
