Упр.160 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. а) $$\sin x\cos \frac{\pi}{6}-\cos x\sin \frac{\pi}{6}\le \frac12$$

   По формуле синуса разности:

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\le \frac12.$$

   Положим $$t=x-\frac{\pi}{6}.$$ Тогда нужно решить неравенство $$\sin t\le \frac12.$$

   На промежутке $$[0;2\pi]$$ это выполняется при

   $$t\in\left[-\frac{5\pi}{6};\frac{\pi}{6}\right].$$

   С учётом периодичности синуса:

   $$t\in\left[-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\frac{\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

   Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

   $$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le x-\frac{\pi}{6}\le \frac{\pi}{6}+2\pi n.$$

   Прибавим $$\frac{\pi}{6}$$ ко всем частям:

   $$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

2. б) $$\sin \frac{\pi}{4}\cos x+\cos \frac{\pi}{4}\sin x<-\frac{\sqrt2}{2}$$

   По формуле синуса суммы:

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)<-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Пусть $$t=x+\frac{\pi}{4}.$$ Тогда

   $$\sin t<-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   На промежутке $$[0;2\pi]$$ это выполняется при

   $$t\in\left(-\frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{4}\right).$$

   С учётом периодичности:

   $$t\in\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\frac{7\pi}{4}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n

   откуда

   $$-\pi+2\pi n

3. в) $$4\sin 2x\cos 2x\ge \sqrt2$$

   Используем формулу:

   $$2\sin 2x\cos 2x=\sin 4x.$$

   Тогда

   $$2\sin 4x\ge \sqrt2,$$

   то есть

   $$\sin 4x\ge \frac{\sqrt2}{2}.$$

   Решение для синуса:

   $$4x\in\left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

   Делим на 4:

   $$x\in\left[\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{2};\frac{3\pi}{16}+\frac{\pi n}{2}\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$\cos \frac{\pi}{8}\cos x-\sin x\sin \frac{\pi}{8}<-\frac{\sqrt3}{2}$$

   По формуле косинуса суммы:

   $$\cos\left(x+\frac{\pi}{8}\right)<-\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Пусть $$t=x+\frac{\pi}{8}.$$ Тогда

   $$\cos t<-\frac{\sqrt3}{2}.$$

   На промежутке $$[0;2\pi]$$ это выполняется при

   $$t\in\left(\frac{5\pi}{6};\frac{7\pi}{6}\right).$$

   С учётом периодичности:

   $$t\in\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$\frac{5\pi}{6}+2\pi n

   откуда

   $$\frac{17\pi}{24}+2\pi n

Ответ

а) $$x\in\left[-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\frac{\pi}{3}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$
б) $$x\in\left(-\pi+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$
в) $$x\in\left[\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{2};\frac{3\pi}{16}+\frac{\pi n}{2}\right],\ n\in\mathbb Z$$
г) $$x\in\left(\frac{17\pi}{24}+2\pi n;\frac{25\pi}{24}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$