Упр.16 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Колмогоров, Абрамов
10 класс
Класс
10
Предмет
Алгебра
Автор
Колмогоров, Абрамов
Упр.16 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Задача
- Дайте определения чётной и нечётной функций. Каким свойством обладают их графики?
- Выясните, какая из указанных ниже функций является чётной, а какая — нечётной:
а) $$y=\frac{\sin x}{x}$$;
б) $$y=x+x^5$$;
в) $$y=x\cos x$$;
г) $$y=3x^2+x^6$$. - Постройте график функции $$f$$, если известно, что:
а) $$f$$ — нечётная; $$f(x)=\cos x-1$$ при $$x\in(-\infty;0]$$;
б) $$f$$ — чётная; $$f(x)=(x-1)^3$$ при $$x\in[0;+\infty)$$;
в) $$f$$ — чётная; $$f(x)=\sin x$$ при $$x\in(-\infty;0]$$;
г) $$f$$ — чётная; $$f(x)=4x-x^2$$ при $$x\in[0;+\infty)$$.
Подробный ответ
1) Чётная функция — это функция, для которой для всех $$x$$ из области определения выполняется $$f(-x)=f(x)$$.
Нечётная функция — это функция, для которой для всех $$x$$ из области определения выполняется $$f(-x)=-f(x)$$.
График чётной функции симметричен относительно оси $$Oy$$, а график нечётной функции — относительно начала координат.
Ход решения
2) Проверим чётность каждой функции по определению.
- $$y=\frac{\sin x}{x}$$
$$y(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{-\sin x}{-x}=\frac{\sin x}{x}$$
Следовательно, функция чётная. - $$y=x+x^5$$
$$y(-x)=(-x)+(-x)^5=-x-x^5=-y(x)$$
Следовательно, функция нечётная. - $$y=x\cos x$$
$$y(-x)=(-x)\cos(-x)=-x\cos x=-y(x)$$
Следовательно, функция нечётная. - $$y=3x^2+x^6$$
$$y(-x)=3(-x)^2+(-x)^6=3x^2+x^6=y(x)$$
Следовательно, функция чётная.
3) Построим графики, используя симметрию.
- Если $$f$$ — нечётная и $$f(x)=\cos x-1$$ при $$x\le 0$$, то для $$x\ge 0$$
$$f(x)=-f(-x)=-(\cos(-x)-1)=-(\cos x-1)=1-\cos x.$$
Значит, правую часть графика получаем центральной симметрией относительно начала координат. - Если $$f$$ — чётная и $$f(x)=(x-1)^3$$ при $$x\ge 0$$, то для $$x\le 0$$
$$f(x)=f(-x)=((-x)-1)^3=-(x+1)^3.$$
Левую часть графика строим зеркально относительно оси $$Oy$$. - Если $$f$$ — чётная и $$f(x)=\sin x$$ при $$x\le 0$$, то для $$x\ge 0$$
$$f(x)=f(-x)=\sin(-x)=-\sin x.$$
Значит, правая часть — отражение левой относительно оси $$Oy$$. - Если $$f$$ — чётная и $$f(x)=4x-x^2$$ при $$x\ge 0$$, то для $$x\le 0$$
$$f(x)=f(-x)=4(-x)-(-x)^2=-4x-x^2.$$
Левую часть графика строим зеркально относительно оси $$Oy$$.
Ответ
2) а) чётная; б) нечётная; в) нечётная; г) чётная.
3) Графики строятся по указанным формулам продолжения: а) $$f(x)=1-\cos x$$ при $$x\ge 0$$; б) $$f(x)=-(x+1)^3$$ при $$x\le 0$$; в) $$f(x)=-\sin x$$ при $$x\ge 0$$; г) $$f(x)=-4x-x^2$$ при $$x\le 0$$.
Другие учебники
Другие предметы