Упр.16 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Докажите, что любое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Рассмотрим рациональное число в виде дроби $$\frac{m}{n},$$ где $$m$$ и $$n$$ — целые числа, $$n>0$$.
Выполним деление числителя на знаменатель. При этом в каждом шаге деления возможны только остатки $$0,1,2,\dots,n-1.$$ Значит, число различных остатков не превосходит $$n.$$
Если остаток когда-нибудь станет равным $$0,$$ то дробь представится конечной десятичной дробью. Если же остаток не равен нулю, то при продолжении деления остатки неизбежно начнут повторяться, так как возможных остатков лишь конечное число.
Как только остаток повторится, дальше начнётся повторение тех же цифр в частном. Следовательно, десятичная запись дроби будет бесконечной периодической.
Таким образом, любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Ответ
Любое рациональное число при делении числителя на знаменатель даёт либо конечную десятичную дробь, либо бесконечную периодическую; в частности, оно может быть представлено в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
