Упр.159 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Введём замену $$t=2x+\frac{\pi}{3}.$$ Тогда неравенство принимает вид $$2\cos t\le 1,$$ то есть $$\cos t\le \frac12.$$

На промежутке $$[0;2\pi]$$ это выполняется при

$$t\in\left[\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\right].$$

С учётом периодичности косинуса получаем

$$t\in\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le 2x+\frac{\pi}{3}\le \frac{5\pi}{3}+2\pi n,$$

$$2\pi n\le 2x\le \frac{4\pi}{3}+2\pi n,$$

$$\pi n\le x\le \frac{2\pi}{3}+\pi n.$$

Ответ: $$x\in\left[\pi n;\frac{2\pi}{3}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Введём замену $$t=3x+\frac{\pi}{6}.$$ Тогда

$$\sqrt3\,\tg t<1,$$

то есть

$$\tg t<\frac{1}{\sqrt3}.$$

На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ это выполняется при

$$t\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{6}\right).$$

С учётом периода тангенса $$\pi$$ имеем

$$t\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{6}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<3x+\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

$$-\frac{2\pi}{3}+\pi n<3x<\pi n,$$

$$-\frac{2\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}<x<\frac{\pi n}{3}.$$

Ответ: $$x\in\left(-\frac{2\pi}{9}+\frac{\pi n}{3};\frac{\pi n}{3}\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

в) Введём замену $$t=\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}.$$ Тогда

$$\sqrt2\,\sin t\ge 1,$$

то есть

$$\sin t\ge \frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

На промежутке $$[0;2\pi]$$ это выполняется при

$$t\in\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right].$$

С учётом периодичности синуса

$$t\in\left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{4}+2\pi n\le \frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\le \frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

$$2\pi n\le \frac{x}{2}\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$4\pi n\le x\le \pi+4\pi n.$$

Ответ: $$x\in\left[4\pi n;\pi+4\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

г) Имеем

$$2\cos\left(4x-\frac{\pi}{6}\right)>\sqrt3,$$

то есть

$$\cos\left(4x-\frac{\pi}{6}\right)>\frac{\sqrt3}{2}.$$

Для косинуса это выполняется при

$$4x-\frac{\pi}{6}\in\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<4x-\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{6}+2\pi n,$$

$$2\pi n<4x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ: $$x\in\left(\frac{\pi n}{2};\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}\right),\quad n\in\mathbb Z.$$